Los hipercomplejos de Hamilton

Los Cuaterniones De Hamilton.

Autor: Alexander Suárez Escudero ;
1 año de Licenciatura en Matemática
Tutor: Dr. Eberto R. Morgado Morales.
RESUMEN

En el presente trabajo se expone la historia del surgimiento del sistema numérico conocido como álgebra de los cuaterniones de Hamilton . Se da la definición delconcepto de cuaternión y de las operaciones de suma y producto entre cuaterniones. Se da la representación de los cuaterniones como cuartetos ordenados de números reales, es decir como elementos de 4 y también se les estudia como pares ordenados de números complejos., es decir como elementos del conjunto 2 . Después, se les estudia como pares ordenados formados por un numero real y un vectorde 3. Finalmente se estudia la inmersión del anillo de los cuaterniones en el anillo de las matrices 2x2 de componentes complejos, es decir su identificación con un subanillo del anillo matricial M2().
ABSTRACT
In the present work the history of the birth of the numerical system of the quaternions of Hamilton is exposed. The mathematicalconcept of quaternion is given and also the definition of the operations of addition and multiplication of quaternions. The representation of quaternions as ordered cuartets of real numbers, that is, as elements of 4, is shown. They are also studied as ordered pairs of complex numbers, that is, as elements of the set 2. Later, they are studied as ordered pairs, formed by a real number and avector of 3. Finally, the immersion of the ring of quaternions in the ring of squares 2x2 matrices with complex entries is studied. It means its identification with a subring of the matrix ring M2().

En el año 1853 se dio a conocer públicamente el sistema numérico conocido como Algebra de los Cuaterniones de Hamilton. El irlandés Sir William R. Hamilton (1805-1865) fue eldescubridor de este sistema numérico , extensión del campo  de los números reales , en el que no se cumple la propiedad conmutativa del producto , aunque se conservan todas las demás leyes algebraicas básicas , incluida la existencia de inverso multiplicativo para todo elemento diferente de cero.
Como es sabido ,los números complejos son números de la forma a+bi donde a y b son números reales y elsímbolo i representa una imaginaria solución de la ecuación x2=1 ,la cual no tiene solución en .
Las operaciones de suma y producto de números complejos quedan determinadas por las de suma y producto de números reales, extendidas de modo que se conserven las leyes algebraicas básicas, es decir, las propiedades de asociatividad y conmutatividad , así como la distributividad del producto con respectoa la suma. Resulta entonces que , para dos números complejos a+bi y c+di, su suma y su producto , respectivamente , son los números complejos :
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
Si en el conjunto 2, de los pares ordenados de números reales , visto como espacio vectorial sobre el campo  , donde las operaciones de suma y producto por un escalar se definen componente acomponente , identificamos el número 1 con el par ordenado (1,0) y denotamos por i al par ordenado (0,1) , entonces el par ordenado (a,b) puede escribirse en la forma (a,b)=(a,0)+(0,b)
=a(1,0)+b(0,1)
=a.1+b.i
=a+bi
es decir , como un número complejo. Esto nos sugiere definir en 2 el producto de dos pares ordenados (a,b) y (c, d) en la forma siguiente:
(a,b)(c, d)=(acbd, ad+bc) (1)Según esta definicion se tendrá que
(0,1)=(0,1)(0,1)=(1,0)=(1)(1,0)=(1)1=1
es decir , i=(0,1) es solución de la ecuación x2=1.
De esta manera el número i deja de ser un ente imaginario , pues está definido , de manera concreta , como el par ordenado (0,1) en 2. El campo de los números complejos es el conjunto 2 , con la suma definida componente a componente y el producto definido por la...