Lugares geométricos
Laura Jiménez Blanco 1ºB Bachillerato
1. Lugares geométricos
Se llama lugar geométrico a la figura que forma un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.
Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de unángulo.
En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia,…) mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos.
Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia…
También se pueden considerar como lugaresgeométricos las curvas cónicas.
- La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus extremos.
Distancia (C, A) = Distancia (C, B)
-La bisectriz de un águlo de lados A, B es el lugar geométrico de los puntos P que equidistan de A y B.
Distancia (P, A) = Distancia (P, B)
-La circunferencia es el lugar geométricode los puntos del plano que equidistan una cantidad fija (radio) de un punto llamado centro.
Llamando (x,y) a las coordenadas del punto genérico, X(x, y) y aplicando analíticamente la propiedad que debe cumplit, se obtiene la ecuación de la figura geométrica.
2. Estudio de la circunferencia
La ecuación de una circunferencua es la siguiente:
Ejemplo
Supongamos que nos danla siguiente ecuación de una circunferencia:
x²+y²+4·x-6·y-12=0
y nos piden calcular el radio y el centro de la misma. Como hemos visto anteriormente, la ecuación de una circunferencia de centro C= (a, b) y radio r se puede escribir de la forma:
(x-a) ²+ (y-b) ²=r
Si pasamos r² al otro lado del signo igual, desarrollamos los cuadrados y agrupamos los términos independientes obtenemos:x²-2ax+y²-2by+(a²+b²-r²)=0
Comparando esta ecuación con la que nos dan e igualando coeficientes, obtenemos:
-2a = 4
-2b = -6
a² +b² -r² = -12
de donde se deduce que:
a = -2
b = 3
r = 5
Ejercicio 1 pág. 217
Halla la ecuación de la circunferencia de centro (-5, 12) y radio 13. Comprueba que pasapor el punto (0, 0)
(x + 5)2 + (y – 12)2 = 169 8 x2+ y2+ 10x – 24y = 0
Si se sustituye x = 0, y = 0 en la ecuación, esta sigue cumpliéndose, así que, la circunferencia pasa por (0, 0).
4. Las cónicas como lugares geométricos
Una cónica es la curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica de revolución y un plano .
Dependiendo de la posición delplano con respecto a la superficie cónica, podemos obtener cuatro cónicas distintas:
1. Si el plano es perpendicular al eje de la superficie cónica y no pasa por el vértice, la cónica es una circunferencia.
2. Si el plano es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas sus generatrices y no pasa por el vértice, la cónica es una curva cerrada que recibe el nombre de elipse.
3.Si el plano es paralelo al eje de la superficie cónica, la cónica se denomina hipérbola, y es una curva que consta de dos partes, una en cada una de las hojas de la superficie cónica.
4. Si el plano es oblicuo al eje y paralelo a la generatriz, la cónica es una curva abierta denominada parábola.
5. Estudio de la elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales quela suma de sus distancias a dos puntos fijos, focos (F1 y F2) es constante, k [k > distancia (F1, F2)].
Distancia (P, F1) + Distancia ( P, F2) = k
Elementos característicos
- k= 2a
- CF2= CF1 a
-OF1= CF2= c c > 0 y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.
Ecuación
Supongamos que el origen de coordenadas está en el centro de la elipse y que el eje focal...
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