Método de Gauss-Seidel

ANALISIS NUMERICO

Método Numérico de
Gauss-Seidel
Ingeniería en Sistemas e Informática
Daniel Almachi
Andres Bustamante
Andres Veintimilla

ESPE 2010

INDICE
1. Introducción

1

2. Sistema de Objetivos
2.1. Objetivo General

2

2.2. Objetivos Específicos

2

3. Marco Teórico
3.1. Métodos Generales

3

3.2. Método de Gauss-Seidel

13

3.3. Comandos Nuevos Matlab18

4. Diagrama de flujo

19

5. Código Programa Método de Gauss-Seidel en Matlab

20

6. Ejecución del Programa

23

7. Aplicaciones en Ingeniería en Sistemas e Informática

25

8. Conclusiones y Recomendaciones

28

9. Bibliografía

29

1. INTRODUCCION
El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones
suficientemente precisashasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las
ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el resultado de las
operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el
número de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de
15 o 20, pero este método también es impráctico cuando sepresentan, por ejemplo, cientos de
ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene
limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas. Sin
embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de
ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel.Ninguno de los
procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja
de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin
embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una
incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto alas magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación. Es difícil definir el margen mínimo por el
que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil
predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes
cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante
para unaincógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de
los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones
simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal.

pg. 1

2. Sistema de Objetivos
2.1. Objetivo General


Comprobar que el Método Numérico de Seidel es confiable en la resolución de un sistema
deecuaciones con 3 incógnitas.

2.2. Objetivos Específicos


Utilizar métodos matemáticos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones con 3
incógnitas.



Demostrar el funcionamiento del método numérico de Seidel para la resolución de un
sistema de ecuaciones.



Implementar el método de Seidel en la resolución del mismo sistema de ecuaciones con 3
incógnitas.

pg. 23. Fundamento Teórico
3.1. Métodos Generales
Método de Sustitución
Ejemplo:

Método de Sustitución:
1) 𝟔𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 = 22
2) −𝒙 𝟏 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝟑 = 30
3) 𝒙 𝟏 - 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 𝟑 = 23

Despejamos 𝒙 𝟏 de ecuacion 3
𝑥1 = 23 - 6𝑥3 + 𝑥2
Remplazamos 𝒙 𝟏 en ecuacion 1 y 2
En ecuación 1:
6𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 22
6 [23 - 6𝑥3 + 𝑥2 ] + 2𝑥2 + 𝑥3 = 22
138 - 36𝑥3 + 6𝑥2 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 22
35𝑥3 - 8𝑥2 =116 4)
En ecuación 2:
−𝑥1 + 8𝑥2 + 2𝑥3 = 30
−23 + 6𝑥3 - 𝑥2 + 8𝑥2 + 2𝑥3 = 30
8𝑥3 + 7𝑥2 = 53 5)
Despejamos 𝒙 𝟐 de ecuacion 4:
35𝑥3 - 8𝑥2 = 116
𝑥2 =

35𝑥 3 – 116
8

Remplazamos 𝒙 𝟐 en la ecuacion 5
8𝑥3 + 7𝑥2 = 53
35𝑥 3 − 116
]
8

8𝑥3 + 7[

= 53

64𝑥3 + 245𝑥3 - 812 = 424

pg. 3

𝒙𝟑=4
De: 𝒙 𝟐 =

𝟑𝟓𝒙 𝟑 – 𝟏𝟏𝟔
𝟖

𝒙𝟐=3
De: 𝒙 𝟏 = 23 - 𝟔𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐
𝒙𝟏=2
Método de Igualación...