Método de máxima verosimilitud
Páginas: 6 (1459 palabras)
Publicado: 23 de mayo de 2013
Método de máxima verosimilitud
Método de estimación de máxima verosimilitud.
Se conoce con este nombre al método de construcción de estimadores más difundido y tal vez más utilizado. Aunque ya había sido concebido y empleado por Gauss (Werke, Vol. 4, 1880), se debe realmente a Fisher, quién lo hizo público en la primera década de los XX. Esta idea fue de gran importancia en el desarrollo dela teoría estadística moderna.
De la misma forma en que debe haber condiciones que tiene que verificar un estimador para ser aceptado como bueno, es necesario disponer de un criterio objetivo que permita obtener de entre los infinitos estimadores el más razonable, como paso previo a la constatación del cumplimiento de las deseables propiedades.
A este fin se establecen los distintos métodosde estimación, cada uno de ellos tiene una base de partida distinta, el de máxima verosimilitud (método que se explicará en este trabajo) parte de la utilización del conocimiento de la distribución de probabilidad poblacional directa.
Existe un método para obtener un estimador insesgado de varianza mínima (MVUE), pero aun cuando se halla un estadístico suficiente, la determinación de lafunción del estadístico suficiente mínimo que proporciona un estimador insesgado puede ser en gran medida una cuestión de azar; por otro lado el método de momentos es intuitivo y fácil de aplicar, pero por lo general no lleva a los mejores estimadores mientras que el método de máxima verosimilitud con frecuencia proporciona estimadores insesgados de varianza mínima (MVUE).
Concepto de verosimilitudLa distribución de probabilidad de una variable aleatoria, discreta o continua, contiene un parámetro θ desconocido cuyo valor deseamos determinar. El parámetro puede tomar valores de un conjunto llamado espacio paramétrico ϴ que, para mayor sencillez, supondremos integrado por dos puntos: θ1 y θ2, θ1 U θ2 = ϴ.
La información disponible sobre el parámetro es la proporcionada por una muestraaleatoria simple X de tamaño n. Designaremos por P(X/θ) la probabilidad de extraer la muestra concreta X cuando el parámetro θ toma un valor del espacio paramétrico ϴ siendo, en general, distinta para cada valor de θ. Esto supone que de las dos componentes del suceso {X/ θ} consideramos X variable y θ un valor concreto del espacio paramétrico ϴ.
Mediante la información proporcionada por lamuestra extraida determinaremos de entre los posibles valores que puede tomar θ el que realmente se presenta en la población concreta estudiada.
. (Fisher 1925)
La cantidad matemática que mide el orden de preferencia queda plasmada en la función L(θ/X) que expresa la verosimilitud, de que el parámetro presente un valor concreto tomando como base la información contenida en la muestra,denominándose L(θ/X) función de verosimilitud de la muestra. En la función de verosimilitud, la muestra X permanece constante, mientras que el parámetro θ varía en el espacio paramétrico ϴ, situación contraria a la contemplada en la probabilidad P(X/θ).
La función de verosimilitud se define como proporcional a la probabilidad del suceso {X/θ}:
L(θ/X) = kP(X/θ),
Siendo k la constante deproporcionalidad, de tal forma que si
L(θ1/X) > L(θ/X)
diremos que la verosimilitud de que el parámetro θ tome el valor θ1 es mayor que la verosimilitud de que sea igual a θ2. La función de verosimilitud expresa simplemente cómo varía la distribución de probabilidad de una variable cuando el parámetro θ toma distintos valores. (Barnett)
En concreto, en P(X/θ) para un mismo valor del parámetro θpodemos comparar la probabilidad de obtención de la muestra X1 y la de obtener la muestra X2, mientras que en la función de verosimilitud para una muestra dada X comparamos las verosimilitudes de dos valores del parámetro, θ1 y θ2.
El desarrollo matemático del concepto de verosimilitud en la Inferencia Estadística se rige por los dos principios siguientes: (Ibidem)
Ley de verosimilitud. Una...
Método de estimación de máxima verosimilitud.
Se conoce con este nombre al método de construcción de estimadores más difundido y tal vez más utilizado. Aunque ya había sido concebido y empleado por Gauss (Werke, Vol. 4, 1880), se debe realmente a Fisher, quién lo hizo público en la primera década de los XX. Esta idea fue de gran importancia en el desarrollo dela teoría estadística moderna.
De la misma forma en que debe haber condiciones que tiene que verificar un estimador para ser aceptado como bueno, es necesario disponer de un criterio objetivo que permita obtener de entre los infinitos estimadores el más razonable, como paso previo a la constatación del cumplimiento de las deseables propiedades.
A este fin se establecen los distintos métodosde estimación, cada uno de ellos tiene una base de partida distinta, el de máxima verosimilitud (método que se explicará en este trabajo) parte de la utilización del conocimiento de la distribución de probabilidad poblacional directa.
Existe un método para obtener un estimador insesgado de varianza mínima (MVUE), pero aun cuando se halla un estadístico suficiente, la determinación de lafunción del estadístico suficiente mínimo que proporciona un estimador insesgado puede ser en gran medida una cuestión de azar; por otro lado el método de momentos es intuitivo y fácil de aplicar, pero por lo general no lleva a los mejores estimadores mientras que el método de máxima verosimilitud con frecuencia proporciona estimadores insesgados de varianza mínima (MVUE).
Concepto de verosimilitudLa distribución de probabilidad de una variable aleatoria, discreta o continua, contiene un parámetro θ desconocido cuyo valor deseamos determinar. El parámetro puede tomar valores de un conjunto llamado espacio paramétrico ϴ que, para mayor sencillez, supondremos integrado por dos puntos: θ1 y θ2, θ1 U θ2 = ϴ.
La información disponible sobre el parámetro es la proporcionada por una muestraaleatoria simple X de tamaño n. Designaremos por P(X/θ) la probabilidad de extraer la muestra concreta X cuando el parámetro θ toma un valor del espacio paramétrico ϴ siendo, en general, distinta para cada valor de θ. Esto supone que de las dos componentes del suceso {X/ θ} consideramos X variable y θ un valor concreto del espacio paramétrico ϴ.
Mediante la información proporcionada por lamuestra extraida determinaremos de entre los posibles valores que puede tomar θ el que realmente se presenta en la población concreta estudiada.
. (Fisher 1925)
La cantidad matemática que mide el orden de preferencia queda plasmada en la función L(θ/X) que expresa la verosimilitud, de que el parámetro presente un valor concreto tomando como base la información contenida en la muestra,denominándose L(θ/X) función de verosimilitud de la muestra. En la función de verosimilitud, la muestra X permanece constante, mientras que el parámetro θ varía en el espacio paramétrico ϴ, situación contraria a la contemplada en la probabilidad P(X/θ).
La función de verosimilitud se define como proporcional a la probabilidad del suceso {X/θ}:
L(θ/X) = kP(X/θ),
Siendo k la constante deproporcionalidad, de tal forma que si
L(θ1/X) > L(θ/X)
diremos que la verosimilitud de que el parámetro θ tome el valor θ1 es mayor que la verosimilitud de que sea igual a θ2. La función de verosimilitud expresa simplemente cómo varía la distribución de probabilidad de una variable cuando el parámetro θ toma distintos valores. (Barnett)
En concreto, en P(X/θ) para un mismo valor del parámetro θpodemos comparar la probabilidad de obtención de la muestra X1 y la de obtener la muestra X2, mientras que en la función de verosimilitud para una muestra dada X comparamos las verosimilitudes de dos valores del parámetro, θ1 y θ2.
El desarrollo matemático del concepto de verosimilitud en la Inferencia Estadística se rige por los dos principios siguientes: (Ibidem)
Ley de verosimilitud. Una...
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