Métodos de solución de sistemas de ecuaciones

Instituto Tecnológico
Superior P’urhepecha

Métodos De Solución De Sistemas De Ecuaciones

Métodos numéricos

Ing. Diego Ayala Duran

Víctor Manuel Hernández Onchi
Índice

Introducción…………………………………………………………………...........3
Métodos Iterativos……………………………………………………………….....4
Jacobi……………...………………………………………………………………...6

Gauss………………...……………………………………………………………...9

Sistemas deEcuaciones No Lineales…………………….……………………………………….……………....11

Método Iterativo Secuencial……………………………………………………...12
.
Iteración Y Convergencia De Sistemas De Ecuaciones………………………………………………………………………....14

Sistema De Ecuaciones De Newton………………………………………………………………………….......15

Método de bairstow……………………………………………………..………....17

Conclusiones Aplicaciones……………………………………………………....20Bibliografía…………..…………….………………………………………....……21

Introducción

En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. Los métodos numéricos que resuelven lossistemas se pueden clasificar en directos e indirectos. Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos. Los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un número finito, pero no definido de pasos. La siguiente entrega pretende encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales por los métodos anteriormentemencionados. El lenguaje de programación idóneo para tal fin será matlab 7.0

Objetivo

Implementara los métodos numéricos de solución de sistemas de ecuaciones, (con apoyo de un lenguaje de programación)

Métodos Iterativos
El método de Gauss y sus variantes se conocen con el nombre de métodos directos: se ejecutan a través de un número finito de pasos y dan lugar a una solución que seríaexacta si no fuese por los errores de redondeo.
Por contra, un método indirecto da lugar a una sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de antemano o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre iterativos: para obtener la sucesiónmencionada se utiliza repetidamente un proceso sencillo.
En general, en todos los procesos iterativos para resolver el sistema Ax=b se recurre a una cierta matriz Q, llamada matriz descomposición, escogida de tal forma que el problema original adopte la forma equivalente:
[pic]
La ecuación sugiere un proceso iterativo que se concreta al escribir
[pic]
El vector inicial[pic] puede serarbitrario, aunque si se dispone de un buen candidato como solución éste es el que se debe emplear. La aproximación inicial que se adopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la idénticamente nula
.[pic] A partir de la ecuación se puede calcular una sucesión de vectores [pic] Nuestro objetivo es escoger una matriz Q de manera que:
• se pueda calcular fácilmente la sucesión [[pic]].
• lasucesión [[pic]]. converja rápidamente a la solución.
Como en todo método iterativo, deberemos especificar un criterio de convergencia [pic]y un número máximo de iteraciones M, para asegurar que el proceso se detiene si no se alcanza la convergencia. En este caso, puesto que x es un vector, emplearemos dos criterios de convergencia que se deberán satisfacer simultáneamente:

1.
El módulodel vector diferencia,[pic] partido por el módulo del vector x,[pic] deberá ser menor que la convergencia deseada:
[pic][pic]

La diferencia relativa del mayor elemento en valor absoluto del vector[pic]

[pic], deberá ser diez veces menor que[pic]:

[pic]

Método De Jacobi
El método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de...