marketing

´
MATEMATICAS

Grado en Marketing e Investigaci´ n de
o
Mercados

Relaci´ n de Ejercicios
o
◦ 3. C´ lculo diferencial
N
a
en una variable.
Curso 2013/14

1. Halle la funci´ n derivada de las siguientes funciones:
o
a) f (x) = x3 − 3x2 .
x+1
d) f (x) =
.
x−2
6x − 5
g) f (x) = 2
.
x +1
j) g(x) = x · ln (x).

b) f (x) = 5x
c) f (x) = x1/2 − x−1/2 .
2
1
f) f (x) = 2x −2 .
e) f (t) = 2 .
3t
x
1 + sen(x)
x
h) f (x) =
. i) f (x) =
.
1 − sen(x)
ln (x)
k) F(t) = t 2 · cos(t).
l) h(t) = 10 (3t + 1)(1 − 3t).
4 + 8z
√
√
5z
6
m) f (x) = (3x2 + 7)(x2 − 2x + 3). n) G(z) =
.
o) f (x) = 15 3 x − 10 x + √ .
4
x
Soluci´ n:
o
1
1
−3
.
a) f (x) = 3x2 − 6x. b) f (x) = ln (5) · 5x . c) f (x) = x−1/2 + x−3/2 . d) f (x) =
2
2
(x − 2)2
−4
2
−6x2 +10x + 6
2 cos(x)
. f) f (x) = 2 + 3 . g) f (x) =
. h) f (x) =
.
3
2 + 1)2
3t
x
(x
(1 − sen(x))2
ln (x) − 1
i) f (x) =
. j) g (x) = ln (x) + 1. k) F (t) = 2t cos(t) −t 2 sen(t). l) h (t) = −180t.
(ln (x))2
5
5
3
m) f (x) = 12x3 − 18x2 + 32x − 14. n) G (z) = 5z3 + 2. o) f (x) = √ − √ − √ .
3 2
x
x
x3
e) f (t) =

2. Halle la segunda derivada de las cinco primeras funcionesanteriores.
Soluci´ n:
o
1
3
a) f (x) = 6x − 6. b) f (x) = (ln (5))2 · 5x . c) f (x) = − x−3/2 − x−5/2 .
4
4
6
4
d) f (x) =
. e) f (t) = 4 .
(x − 2)3
t
3. Halle la funci´ n derivada de las siguientes funciones:
o
2
a) f (x) =
.
(3x)2
d) f (x) = 1 − cos(2x) + 2(cos(x))2 .
g) f (x) = ln (ln x).
2
j) f (x) = ex −5x .

1 5
b) f (x) =
.
x
e) y = 3 sen(3x + 1).
√
h) g(x) =ln 1 − x2 .
3
k) g(x) = ex ln (x2 ).
x2 +

1
.
(2x + 3)5
f) f (x) = ln(5x + 2).
i) f (x) = 42x .
√
l) f (x) = x3 + x.
c) f (x) =

o
Soluci´ n:
−4
a) f (x) = 3 .
9x

1
x

4

−10
.
(2x + 3)6
5
d) f (x) = 2 sen(2x) − 4 cos(x) · sen(x). e) y = 9 cos(3x + 1). f) f (x) =
.
5x + 2
b) f (x) = 5

x2 +

· 2x −

1
.
x2

c) f (x) =

g) f (x) =

1
.
x · ln xh) g (x) =

j) f (x) = (2x − 5) ex

2 −5x

−x
.
1 − x2

i) f (x) = 2 · ln (4) · 42x .

3

. k) g (x) = ex · 3x2 ln (x2 ) +

2
.
x

3x2 + 1
l) f (x) = √
.
2 x3 + 1

4. Para las funciones que se listan a continuaci´ n, halle la ecuaci´ n de la recta tangente a la funci´ n
o
o
o
dada en el punto indicado:
2x
a) f (x) = (x+3)3 , xo = −2.
b) f (x) = (x−2)2 , xo = 2.
c)f (x) =
, xo = 0.
1 − x2
Soluci´ n:
o
La recta tangente a la gr´ fica de la funci´ n en el punto Po = (xo , f (xo )) tiene pendiente igual a
a
o
la derivada f (xo ). Por tanto, su ecuaci´ n es y = f (xo ) + f (xo ) · (x − xo ) .
o
a) La funci´ n y su derivada evaluadas en el punto xo = −2 son:
o
f (x) = (x + 3)3
f (x) = 3(x + 3)2

→

f (−2) = 1.

→

f (−2) = 3.

Entonces, laecuaci´ n de la recta tangente buscada es
o
y = 1 + 3(x + 2) o sea,

y = 3x + 7 .

b) f (x) = (x − 2)2

f (2) = 0.

f (x) = 2(x − 2)

→
→

f (2) = 0.

La ecuaci´ n de la recta tangente es: y = 0 · (x − 2), o sea, y = 0 .
o
2x
→ f (0) = 0.
1 − x2
2 + 2x2
f (x) =
→ f (0) = 2.
(1 − x2 )2

c) f (x) =

La ecuaci´ n de la recta tangente es: y = 2x .
o
1
5. Halle lospuntos de la gr´ fica de f (x) = x3 + x2 − x − 1 en los que la pendiente es
a
3
a) − 1,
b) 2,
c) − 3.
Soluci´ n: La pendiente de una funci´ n en un punto es la derivada de la funci´ n en dicho punto.
o
o
o
La derivada es f (x) = x2 + 2x − 1.
a) f (x) = −1 ⇐⇒ x2 + 2x − 1 = −1 ⇐⇒ x2 + 2x = 0 ⇐⇒ x = 0

´
o x = −2.

Calculamos las correspondientes ordenadas f (x) y obtenemos los puntos (0,−1) y
b) f (x) = 2 ⇐⇒ x2 + 2x − 1 = 2 ⇐⇒ x2 + 2x − 3 = 0 ⇐⇒ x = 1 o
Se obtienen los puntos

1,

−2
3

−2,

x = −3.

y (−3, 2) .

c) f (x) = −3 ⇐⇒ x2 + 2x − 1 = −3 ⇐⇒ x2 + 2x + 2 = 0.
Esta ecuaci´ n no tiene soluci´ n. Por tanto, no hay puntos de la gr´ fica con pendiente −3.
o
o
a

7
3

.

6. Calcule el valor de a y b para que la siguiente funci´ n sea continua y...