Mat_Analisis_de_Curva_Utilizando_Derivadas 1

Análisis de curvas utilizando derivadas
Valores extremos
f(x) tiene un máximo local en xo si:
f(x) ≤ f(x ) ∀x ∈ [a, b]
0

f(x) tiene un máximo local en xo si:
f(x) ≥ f(x ) ∀x ∈ [a, b]
0Observación:
En estos casos la pendiente de la tangente en el
punto (xo , f(xo)) es igual a cero.
A dichos puntos se llaman “puntos críticos”.

Definición.
Un valor crítico es un valor en el cual la pendiente dela curva es
cero o indefinida. Estos valores son posibles “candidatos a”:
máximo, mínimo o inflexión.
Para hallar los valores críticos de f(x) seguimos los siguientes
pasos:
1) Hallar f ’(x)
2)Resolver la ecuación f ’(x) = 0

¿Cómo determinar si en un punto crítico existe un máximo o un mínimo?
Criterio de la primera derivada.
Sea f (x) una función continua en un intervalo, y supóngase quef’(x)
existe en todos los puntos en el intervalo excepto posiblemente para en
punto crítico c.

i)

Si f’ (x) > 0 a la izquierda de c y f’ (x) < 0 a la derecha de c, entonces en
c existe un valor máximolocal.

ii)

Si f’ (x) < 0 a la izquierda de c y f’ (x) > 0 a la derecha de c, en c existe un
mínimo local.

c
En x=c hay un máximo

f’

c

f’

En x=c hay un mínimo

En resumen:
1)
2)
3)

Determinar f’(x)
Determinar los puntos críticos: f’ (x) = 0 ó f’ (x) se indefina
Aplicar el criterio de la primera derivada.

Ejemplo:
Analizar la curva definida por:

x3
f ( x) = − 2 x 2 + 3x + 1
3

Criterio dela segunda derivada.
Sea c un valor crítico de una función f en la cual f’(c) = 0 y
f’ (x) existe dentro de determinado intervalo.
Si f’’ (c) existe se cumple que:
i)

Si f’’ (c) > 0 entonces en x = cexiste un mínimo local.

ii)

Si f’’ (c) < 0 entonces en x = c existe un máximo local.

Observación.
Si f’’ (c) = 0 el criterio no entrega información.
Luego en este caso se debe acudir al criteriode la primera
derivada.

En resumen:
1)
2)
3)
4)
5)

Obtener f’ (x)
Identificar los puntos críticos
Obtener f’’ (x)
Evaluar f’’ (x) en cada punto crítico
Aplicar criterio de la segunda derivada...