Mat II Tema 01 Problemas Matrices

Matemáticas II

Álgebra de matrices

1

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES
Observación: La mayoría de estos ejercicios proceden de las pruebas de Selectividad.

1 2
a b 
 encuentra todas las matrices P = 
 tales que AP = PA.
1. Dada la matriz A = 
0 1
c d
Solución:
Se desea que
 1 2  a b   a b  1 2 
 a + 2c b + 2d   a 2a + b 


 = 

 ⇔ 
=

d   c2c + d 
 0 1  c d   c d  0 1 
 c
Por tanto, debe cumplirse que:
 a + 2c = a
c = 0
b + 2d = 2a + b


⇒ d = a

c
=
c
b = b


 d = 2c + d

a b
 , donde a y b son números reales cualesquiera.
Luego, P = 
0 a

José María Martínez Mediano

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2

2. a) Sean A, B y C tres matrices tales que el producto A · B · C es una matriz 3 × 2 y elproducto A · Ct es una matriz cuadrada, siendo Ct la traspuesta de C. Calcula, razonando la
respuesta, las dimensiones de A, B y C.
 −1 0 
 , obtén todas las matrices X que conmutan con M, es decir, que
b) Dada M = 
 1 − 1
verifican X · M = M · X.
c) Calcula la matriz Y que verifica M · Y + M−1 · Y = I, siendo M la matriz dada en b), M−1 la
matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden2.
Solución:

a) Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera
coincida con el número de filas de la segunda. Es decir, pueden multiplicarse matrices de
dimensiones m × n por n × p, siendo el resultado una matriz de dimensión m × p.
Por tanto, si el producto A · B · C es una matriz 3 × 2, la matriz A debe ser de dimensión 3 ×
n, la B de dimensión n × p, y la C dedimensión p × 2.
Para que pueda realizarse el producto A · Ct, matrices (3 × n) · (2 × p), es necesario que n = 2.
Y si el resultado, que es de dimensión 3 × p, es una matriz cuadrada, entonces p = 3.
Por consiguiente: A es una matriz de dimensión 3 × 2; B, de dimensión 2 × 3; y C de
dimensión 3 × 2.
a
b) Si X =
c
a

c

b
 debe cumplirse que:
d 
b  − 1 0   − 1 0  a b 

=
 ⇔
d  1 − 1  1 − 1 c d 
 − a + b = −a
 − b = −b

⇒ b = 0; a = d; c = c.
⇒ 
− c + d = a − c
 − d = b − d
a 0

La matriz X = 
c a

−b 
− a + b −b  − a

 = 
 ⇒
− c + d − d  a − c b − d 

(M ij )
 −1 0 
 −1 0 
 ⇒ M −1 = 
 , pues M −1 =
c) M = 
(También puede obtenerse por
M
 1 − 1
 − 1 − 1
el método de Gauss−Jordan.)
Como M · Y + M−1 · Y = I ⇒(M + M−1) · Y = I. Luego:
t

− 2 0 
1 0
− 2 0 

·Y = 
 ⇒ Y = 

 0 − 2
0 1
 0 − 2

−1

0 
 1 0  − 1/ 2

 = 

− 1 / 2 
0 1  0

José María Martínez Mediano

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3

 −1 − 2 − 2


3. Sea la matriz A =  1
2
1 .
 0 −1 −1


3
a) Comprobar que verifica A − I = O , con I matriz identidad y O matriz nula.
b) Calcula A13
c)Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas halla la matriz X
que verifica la igualdad A 2 X + I = A .
Solución:
a) Multiplicando se tiene:
 −1 − 2 − 2  −1 − 2 − 2  − 1


 
2
A = 1
2
1 · 1
2
1 = 1
 0 −1 −1  0 −1 −1  −1


 
2  1 0
 − 1 − 2 − 2  −1 0


 
3
A = 1
2
1 · 1
1 − 1 =  0 1
 0 −1 −1 −1 −1 0  0 0


 

0
1

2
− 1
− 1 0 
0

0 = I
1 

Por tanto, A3 − I = O .
b) Como A3 = I ⇒ A12 = (A 3 ) = I 4 = I . Por tanto, A13 = A12 · A = I · A = A
4

c) De A 2 X + I = A ⇒ A 2 X = A − I ⇒ A· A 2 X = A·( A − I ) ⇒
⇒ A3 X = A 2 − A ⇒ X = A 2 − A
Luego,
4 
 −1 0 2   −1 − 2 − 2  0 2

 
 

X =  1 1 − 1 −  1
2
1  =  0 −1 − 2
 −1 −1 0   0 −1 −1  −1 0
1 

 
 

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4

4. Resolver la ecuación matricial B(2 A + I ) = AXA + B , siendo
2
 1 − 1
1
1 0
 , B = 
 e I = 

A = 
0 1 
 − 1 − 1
0 1
Solución:
Operando en la ecuación dada se tiene:
B(2 A + I ) = AXA + B ⇒ 2 BA + B = AXA + B ⇒ 2 BA = AXA

Multiplicando por A −1 por ambos lados se tiene:
2 BA = AXA ⇒ 2 A −1 BAA −1 = A −1 AXAA −1 ⇒ 2 A −1 B...