Mate 2

SOLUCIÓN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA PÁGINA 691 DEL LIBRO “ANÁLISIS MATEMÁTICO II”.

1.- r=4 cos⁡3θ

A. Encontramos Intersecciones:

A1. Con respecto al Eje Polar: θ=nπ ,n ϵ R
Si n=-2 →r=4 cos⁡(-6π)=4 →I=(4,-2π)=(4,0)
Si n=-1 →r=4 cos⁡(-3π)=-4 →I=(-4,-π)=(-4,π)
Si n=0 →r=4cos0=4 →I=(4,0)
Si n=1 →r=4cos3π=-4 →I=(-4,π)
Si n=2→r=4 cos⁡6π=4 →I=(4,2π)=(4,0)

A2. Con respecto al ejeπ/2: θ=π/2+nπ ,n ϵ R
Si n=-2 →θ=π/2-2π=-3π/2 →r=4 cos⁡(-9π/2)=0→I=(0,-3π/2)
Si n=-1 →θ=π/2-π=-π/2 →r=4 cos⁡(-3π/2)=0→I=(0,-π/2)
Si n=0 →θ=π/2 →r=4 cos⁡(3π/2)=0→I=(0,π/2)
Si n=1 →θ=π/2+π=3π/2 →r=4 cos⁡(9π/2)=0→I=(0,3π/2)
Si n=2 →θ=π/2+2π=5π/2 →r=4 cos⁡(15π/2)=0→I=(0,5π/2)

A3. Con el Polo: r=0
Si r=4 cos⁡3θ=0→cos⁡3θ=0→θ=π/6→I=(0,π/6)

B. Encontramos simetrías:

B1. Con respecto alEje Polar: Intercambiamos (r,θ) por (r^1,-θ)
r=4 cos⁡3θ→r^1=4 cos⁡(-3θ)=4 cos⁡〖3θ ∴r=r^1→Existe Simetría〗

B2. Con respecto al eje π/2: Intercambiamos (r,θ) por (r^1,π-θ)
r=4 cos⁡3θ→r^1=4 cos⁡3(π-θ)=4 sen⁡3θ⁡〖 ∴r≠r^1→No Existe Simetría〗

B3. Con Respecto al Polo: Intercambiamos (r,θ) por (-r^1,θ) o (r^1,π+θ)
r=4 cos⁡3θ→r^1=4 cos⁡3(π+θ)=4 sen⁡3θ⁡〖 ∴r≠r^1→No Existe Simetría〗

C.Tabulación:

θ 0 π⁄6 π⁄4 π⁄3 π⁄2 2π⁄3 3π⁄4 5π⁄6 π
r 4 0 -2√2 -4 0 4 2√2 0 -4
D. Gráfica:


2.- r=1⁄sen⁡θ

A. Encontramos Intersecciones:

A1. Con respecto al Eje Polar: θ=nπ ,n ϵ R
Si n=-2 →r=1⁄sen⁡〖(-2π)〗 =∄ →I=∄
Si n=-1 →r=1⁄sen⁡〖(-π)〗 =∄ →I=∄
Si n=0 →r=1⁄sen⁡0 =∄ →I=∄
Si n=1 →r=1⁄sen⁡π =∄ →I=∄
Si n=2→r=1⁄sen⁡2π =∄ →I=∄

A2. Con respecto al eje π/2: θ=π/2+nπ ,n ϵ R
Si n=-2→θ=π/2-2π=-3π/2 →r=1⁄sen⁡(-3π/2) =1→I=(1,-3π/2)
Si n=-1 →θ=π/2-π=-π/2 →r=1⁄sen⁡(-π/2) =-1→I=(-1,-π/2)
Si n=0 →θ=π/2 →r=1⁄sen⁡(π/2) =1→I=(1,π/2)
Si n=1 →θ=π/2+π=3π/2 →r=1⁄sen⁡(3π/2) =-1→I=(-1,3π/2)
Si n=2 →θ=π/2+2π=5π/2 →r=1⁄sen⁡(5π/2) =1→I=(1,5π/2)

A3. Con el Polo: r=0
Si r=1⁄sen⁡θ =0→1≠0∴No Existe Intersección

B. Encontramos simetrías:

B1. Con respecto al Eje Polar: Intercambiamos (r,θ)por (r^1,-θ)
r=1⁄sen⁡θ →r^1=1⁄sen⁡(-θ) =-1⁄sen⁡θ →r≠r^1 ∴No Existe Simetría

B2. Con respecto al eje π/2: Intercambiamos (r,θ) por (r^1,π-θ)
r=1⁄sen⁡θ →r^1=1⁄sen⁡(π-θ) =1⁄sen⁡θ →r=r^1 ∴Existe Simetría

B3. Con Respecto al Polo: Intercambiamos (r,θ) por (-r^1,θ) o (r^1,π+θ)
r=1⁄sen⁡θ →r^1=1⁄sen⁡(π+θ) =-1⁄sen⁡θ →r≠r^1 ∴No existe Simetría

C. Tabulación:

θ 0 π⁄6 π⁄4 π⁄3 π⁄2 2π⁄33π⁄4 5π⁄6 π
r ∄ 2 √2 (2√3)⁄3 1 4 √2 2 ∄

D. Gráfica:



3.- r=2-4 cos⁡θ
A. Encontramos Intersecciones:

A1. Con respecto al Eje Polar: θ=nπ ,n ϵ R
Si n=-2 →r=2-4 cos⁡(-2π)=-2 →I=(-2,-2π)=(-2,0)
Si n=-1 →r=2-4 cos⁡(-π)=6 →I=(6,-π)=(6,π)
Si n=0 →r=2-4 cos⁡0=-2 →I=(-2,0)
Si n=1 →r=2-4 cos⁡π=6 →I=(6,π)
Si n=2→r=2-4 cos⁡2π=-2 →I=(-2,2π)=(-2,0)

A2. Con respecto al eje π/2: θ=π/2+nπ,n ϵ R
Si n=-2 →θ=π/2-2π=-3π/2 →r=2-4 cos⁡(-3π/2)=2→I=(2,-3π/2)
Si n=-1 →θ=π/2-π=-π/2 →r=2-4 cos⁡(-π/2)=2→I=(2,-π/2)
Si n=0 →θ=π/2 →r=2-4 cos⁡(π/2)=2→I=(2,π/2)
Si n=1 →θ=π/2+π=3π/2 →r=2-4 cos⁡(3π/2)=2→I=(2,3π/2)
Si n=2 →θ=π/2+2π=5π/2 →r=2-4 cos⁡(5π/2)=2→I=(2,5π/2)

A3. Con el Polo: r=0
Si r=2-4 cos⁡θ=0→cos⁡θ=1/2∴θ=π/3→I=(0,π/3)

B. Encontramos simetrías:

B1. Con respecto al EjePolar: Intercambiamos (r,θ) por (r^1,-θ)
r=2-4 cos⁡θ→r^1=2-4 cos⁡(-θ)=2-4 cos⁡〖θ ∴r=r^1→Existe Simetría〗

B2. Con respecto al eje π/2: Intercambiamos (r,θ) por (r^1,π-θ)
r=2-4 cos⁡θ→r^1=2-4 cos⁡(π-θ)=2+4 cos⁡θ∴ r≠r^1→No Existe Simetría

B3. Con Respecto al Polo: Intercambiamos (r,θ) por (-r^1,θ) o (r^1,π+θ)
r=2-4 cos⁡θ→r^1=2-4 cos⁡(π+θ)=2+4 cos⁡θ∴ r≠r^1→No Existe Simetría

C.Tabulación:
θ 0 π⁄6 π⁄4 π⁄3 π⁄2 2π⁄3 3π⁄4 5π⁄6 π
r -2 2-2√3 2-2√2 0 2 4 2+2√2 2+2√3 6

D. Gráfica:


4.- r=e^θ

A. Encontramos Intersecciones:

A1. Con respecto al Eje Polar: θ=nπ ,n ϵ R
Si n=-2 →r=e^((-2π) )=1.8674 →I=(1.8674,-2π)=(1.8674,0)
Si n=-1 →r=e^((-π) )=0.0432 →I=(0.0432,-π)=(0.0432,π)
Si n=0 →r=e^0=1 →I=(1,0)
Si n=1 →r=e^π=23.1406 →I=(23.1406,π)
Si n=2→r=e^2π=535.4917...