Mate 3 Longitud De Arco, Curvatura, Vector Tangente Normal

VECTOR TANGENTE

VECTOR NORMAL
Ejemplo 1.-
Si
… c(t) = (2 cos t , 2 sen t, t)
Encontrar el vector tangente unitario.
Solución:
.. c’(t) = (−2 sen t , 2 cos t, 1)

Ejemplo 2.-
 Hallar el vector Normal principal para la hélice:
 
 … c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t)
 
 Solución: 
 Por el ejemplo1 sabemos que el vector tangente unitario es: 
 T’(t) viene dada por:
T’(t) = ( −2 cos t,−2 sen t, 0)
Como
│T’(t) │ = =
se sigue que el vector normal principal es:
N(t) = ½ (−2 cos t , −2 sen t, 0) = (-cos t, sen t , 0)

Ejemplo 4:
Para una curva en el espacio R3 con parámetro t, es decir

r(t) : Vector posición
x,y,z son las componentes del vector posición, todas funciones de un parámetro t
r(t) = (x(t) , y(t) , z(t) )

Derivamos r(t) con respecto a t derivando loscomponentes
•
r = dr/dt = r' (t) = (x' (t) ; y' (t) , z' (t) )

Esto nos señala el vector tangente a la curva,
cuando t es el tiempo, tenemos el vector velocidad.

Ahora, veamos el módulo de este vector r
•
|r| = | r' (t)| = raiz( (x' (t))^2 + y' (t))^2 + z' (t))^2
= raiz( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2 )
= raiz( dx^2 + dy^2 + dz^2) / dt

La expresión en la raíz es el diferencial de lalongitud de la curva,
según el teorema de pitágoras en el espacio

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2

Entonces
•
|r| = ds/dt

Nuevamente, si t es el tiempo, el módulo de la velocidad (vectorial)
nos da la rapidez (escalar)

Vemos que, si consideramos como parámetro a s, la longitud de la curva desde un cierto punto inicial,
el módulo del vector tangente es 1
•
|r| = ds/ds = 1
Cuando elparámetro de la curva espacial es la longitud de la curva,
nos queda como vector tangente el vector unitario tangente, al que llamamos T

r(s) = <x(s) ; y(s) ; z(s)>
T(s) = r' (s) = <x' (s) ; y' (s) ; z' (s)>

Observemos que hemos dado con el mecanismo para representar la curva con parámetro s,
se elige cualquier parámetro t, se deriva el vector posición y se busca el módulo de laderivada,
Ese módulo función de t es ds/dt = r' (t)

Entonces
s = int ( r' (t) dt)
Remplazando t con s , tenemos la curva con parámetro s que nos da el vector tangente unitario.

Bien, tenemos T(s) tangente unitaria a r(s)= <x(s) ; y(s) ; z(s)>

Ahora, derivamos T(s) con respecto a s

T' (s) = dT(s) /ds = d^2 r(s) /ds^2

Este vector es normal a T(s)
Prueba
T(s) es unitario, suproducto escalar por sí mismo es 1
T(s) * T(s) = 1 (prducto escalar)
Derivamos y usamos la conmutatividad del producto escalar
T(s) * T' (s) + T'(s) * T(s) = 0
2 T(s) * T' (s) = 0
T(s) * T' (s) = 0
Tenemos que T'(s) es normal al vector tangente unitario T(s)

Ahora, definimos el módulo de T' (s) como k(s) y el vector unitario normal como N(s)

T' (s) = dT(s) /ds = k(s) N(s)

Elcoeficiente k(s) se denomina CURVATURA de la curva r(s)

¿Cómo se calcula?
Tomando el módulo de T' (s) o de r'' (s)
k(s) = | T' (s)| = | r'' (s)|

CURVATURA

Recordemos que en el plano xy una curva se puede definir mediante las ecuaciones paramétricas x = f (t) y = g (t) , a < t < b
A cada valor del parámetro t le corresponde un punto sobre la curva.
Podemos definir el vector deposición de cada uno de esos puntos como:
r(t) = f(t) i + g(t) j
en donde i y j son los vectores unitarios en la dirección de los ejes x, y respectivamente.
Para cada valor del parámetro t existe un y sólo un vector r (t) y por lo tanto r (t) es una Función Vectorial.
Observa los siguientes ejemplos de funciones vectoriales:
r(t)= xi + yj = [3 + 2 Sin(t)] i + [2 + Cos(t)] j
r(t)= xi + yj = [2t- Sin(t/2)] i + [2 - Cos(t/2)] j
Curvas en el espacio
De manera similar, una curva en el espacio es parametrizada por tres ecuaciones:
x = f(t), y = g(t), z = h(t), a <= t <= b
En forma correspondiente, se define una función vectorial mediante
r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k con dominio a <= t <= b
Ejemplos de funciones vectoriales en el espacio:
r(t)= xi + yj + zk...