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Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
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Departamento de Matem´tica
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Matematicas III (MAT 023)
Control n◦ 1
1er Semestre de 2014

Nombre:
Rol:

Profesor:

1. (20 puntos)Hallar la soluci´n general de la ecuaci´n diferencial:
o
o
x cos y +

√
x + 1 sen y y = 0

indicando claramente el dominio en el cual est´ definida.
a
Soluci´n:
o
Notamos primeramente que laecuaci´n est´ definida para x > −1 y es una ecuaci´n de variable
o
a
o
separable. Luego, anotamos:
x cos y +
Es decir:

Ahora bien, si y =

π
2

√
dy
=0
x + 1 sen y
dx

√
dy
x cos y =− x + 1 sen y
dx
+ kπ, con k ∈ Z, escribimos la ecuaci´n anterior como:
o
√

x
dy
= − tan y
dx
x+1

Separando variables e integrando, obtenemos:
√

x
dx = −
x+1

tan y dy + Ccon C una constante de integraci´n. Entonces, la ecuaci´n anterior queda:
o
o
√

x + 1 dx −

Es decir, obtenemos:
2
3
Por tanto, obtenemos:

x+1

3

√

1
dx = − ln | cos y| + C
x+1√
− 2 x + 1 = − ln | cos y| + C

2√
x + 1 (x − 2) + ln | cos y| = C
3
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Finalmente, notamos que lasfunciones constantes:
y=

π
+ 2kπ,
2

k∈Z

son soluciones de la ecuaci´n diferencial. Por lo tanto, la soluci´n general de la ecuaci´n est´
o
o
o
a
dada por:


2√

x + 1 (x − 2) + ln| cos y| = C
3
y = π + 2kπ, k ∈ Z

2

, si

π
3π
y = ± , ± ,...
2
2

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a

2. (a) (20 puntos)Resuelva la ecuaci´n diferencial:
o
2

3xy 2 y + xex + y 3 = 0
(b) (20 puntos) Considere el problema de valor inicial:
(1 + x2 )y + 2xy = f (x),

y(0) = 0.

en donde:
si x ∈ [0, 1),

x,

f (x)=

−x, si

x ≥ 1.

Hallar, si acaso existe, una soluci´n continua para este problema.
o
Soluci´n:
o
Problema (a):
Considere el cambio de variables u = y 3 . Luego, u = 3y 2 y , entonces...