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ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA DE UNA VIGA OBTENCIÓN POR EL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

Para desarrollar la expresión de la ecuación diferencial de la elástica de una viga, estudiaremos una vigacargada como la de la figura 1, con un sistema de ejes en el que el eje y es positivo hacia arriba y el eje x es positivo hacia la derecha. Consecuentemente, el eje z es positivo en la dirección salientedel plano del papel y serán positivos los giros en sentido antihorario. El motivo de cargarla según se ve en la figura es que las deformaciones producidas por la carga resulten positivas aunque en larealidad una carga así sea difícil de encontrar.

Figura 1 Curva de deflexión de una viga en voladizo.

Llamaremos deflexión ν al desplazamiento de cualquier punto sobre el eje de la viga. Como eleje y es positivo hacia arriba, las deflexiones serán también positivas hacia arriba. Para obtener la ecuación de la elástica, que representa la deflexión de cualquier punto de la viga, tenemos queser capaces de expresar la deflexión en función de la coordenada x. Para ello nos fijaremos en la figura 2.

Figura 2 Deflexión y ángulo de rotación de una viga.

La deflexión de un punto genéricom1 será la distancia desde la deformada al eje de abscisas, ν. Si tomamos otro punto m2 infinitesimalmente próximo al anterior (su abscisa será x+dx), su deflexión será muy parecida a la de m1, perohabrá variado un poco (otra cantidad infinitesimal), dν, que se corresponde con

el incremento de la deflexión conforme avanzamos a lo largo de la curva desde m1 a m2. La deflexión de este segundopunto será ν+ dν. Al flexionarse la viga, cada uno de sus puntos realiza dos movimientos: a) Se desplaza una cantidad ν según hemos visto. b) Gira un cierto ángulo. Llamaremos ángulo de rotación, θ, deleje de la viga al ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión en un punto1. Así, nuestro punto m1 tendrá un ángulo de rotación θ. El punto m2 habrá girado un poco más, en concreto...