Matematica Basica

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Series numéricas e integrales impropias
Contenidos
7.1. Definición y primeras propiedades 7.2. Término general o integrando positivos 7.3. La propiedad asociativa en series 7.4. Convergencia absoluta y condicional. Teorema de Riemann 7.5. Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel 7.6. Sumación de algunas series 7.7. Ejercicios

Competencias
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Saber definir los conceptos de serie eintegral impropia. Conocer la convergencia de las series e integrales impropias armónicas y saber utilizarlas en el análisis de la convergencia para funciones positivas. Saber los efectos que tiene sobre la convergencia de una serie la asociación, disociación y reordenación de sus términos, dando razón y ejemplos. Saber utilizar los criterios de Dirichlet y Abel para analizar convergenciacondicional y sumar algunas series. Saber usar Maxima para calcular aproximaciones a sumas de serie e integrales impropias.

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Series numéricas e integrales impropias

Este capítulo está dedicado a las series numéricas y a las integrales impropias. En sentido estricto, son cuestiones diferentes. En el primer caso se trata de dar sentido a una suma infinita de números,analizando las propiedades que tales sumas tienen en relación con las propiedades de las sumas con un número finito de sumandos (asociativa, disociativa y conmutativa). En el segundo caso se trata de extender el concepto de integral de Riemann, que estaba definido únicamente para funciones acotadas en intervalos cerrados y acotados, al caso de funciones que o bien no están definidas en un intervalo acotado obien no son acotadas, e incluso ambas cosas. Habitualmente estas cuestiones son tratadas en los libros en capítulos diferentes porque tienen distinta naturaleza. No obstante hemos preferido hacer un tratamiento paralelo por una cuestión de economía de esfuerzos y para resaltar las similitudes formales (y no tan formales) existentes entre ellas. El formato utilizado en este capítulo en el que confrecuencia aparecen «textos paralelos» para series numéricas e integrales impropias contribuye a facilitar una lectura comparada de los conceptos y resultados que se presentan. Las técnicas para probar los teoremas son en cambio diferentes y por ello se presentan de forma independiente y secuencial. Cuando para una cuestión, como ocurre con la reordenación de series, no se estudia un análogo en elparalelismo, se interrumpe temporalmente el formato de textos paralelos. Confiamos que este modo de proceder ayude a la organización conceptual de los alumnos, aunque el resultado estético (del texto) se vea afectado negativamente.

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7.1 Definición y primeras propiedades

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7.1.

Definición y primeras propiedades
Definición 7.1.2 Sea una función f : [a, ∞) −→ R tal que surestricción a [a, b] es integrable Riemann para cada a < b < ∞ (una tal función se llama localmente integrable). Se dice que f es integrable en sentido impropio en [a, ∞) (o que la integral impropia es convergente) si existe
x→∞ a

Definición 7.1.1 Una serie numérica en K es un par de sucesiones (an )n∈N , (Sn )n∈N relacionadas por la fórmula Sn = a1 +· · ·+an . Una serie de este tipo se representaabreviadamente mediante ∞ an .
n=1

A an se le llama término general de la serie y a Sn suma n-ésima. La serie numérica (o simplemente serie) se dice convergente si existe l´ Sn =: S ∈ K ım
n

l´ ım

x

f (t) dt ∈ R.

Dicho límite recibe el nombre de integral impropia de f en [a, ∞) y se denota con ∞ f (t) dt.
a

y en este caso S recibe el nombre de suma de la serie. Cuando an ∈ R y l´ nSn = ±∞ la ım serie se dice divergente a ±∞. Analizar el carácter de una serie concreta significa determinar si la serie es convergente o no lo es. Esta cuestión, como fácilmente puede comprenderse, es más sencilla que la determinación (en su caso) de la suma.

Existen otras situaciones en las que es natural considerar una integral impropia: cuando f está definida sobre (−∞, a] o cuando f está...