matematicas 3

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Ejercicios resueltos Tema 7
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Noviembre 2008, Versión 1.3

1

EDO’s separables

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes EDO’s separables.
1.

dy
= sin 5x.
dx

2. dx + e3x dy = 0.
3. (x + 1)

dy
= x+ 6.
dx

4. xy 0 = 4y.
5.

dy
y3
= 2.
dx
x

6.

dx
x2 y 2
=
.
dy
1+x

dy
= e3x+2y .
dx
¡
¢
¡
¢
8. 4y + yx2 dy − 2x + xy 2 dx = 0.
7.

9. 2y (x + 1) dy = x dx.
µ
¶2
y+1
dx
.
=
10. y ln x
dy
x
(1.1)

dy
= sin 5x,
dx
dy = sin 5x dx,
Z
Z
dy = sin 5x dx,

1
y = − cos 5x + c,
5

c ∈ R.

(1.2)
dx + e3x dy = 0,
1

Ejercicios: EDO’s de primerorden

2

e3x dy = −dx,
−1
dx
e3x
= −e−3x dx,
Z
Z
dy = −e−3x dx,
dy

Z

=

dy =

1
3

y=

Z

e−3x (−3) dx,

1 −3x
+ c,
e
3

c ∈ R.

(1.3)
dy
= x + 6,
dx
x+6
dy =
dx,
x+1
Z
Z
x+6
dx,
dy =
x+1
(x + 1)

Z

¶
Z
Zµ
x+6
x+1+5
5
dx =
dx =
1+
dx
x+1
x+1
x+1
= x + 5 ln |x + 1| + c,
y = x + 5 ln |x + 1| + c,

c ∈ R.

(1.4)
xy 0 = 4y,
dy= 4y,
dx
1
1
dy = 4 dx,
y
x
Z
Z
1
1
dy = 4
dx,
y
x
x

ln |y | = 4 ln |x| + c1 ,
ln |y | = ln x4 + c1 ,
4

|y | = eln x +c1 = x4 · ec1 ,
= c2 x4 ,

(c2 = ec1 )

y = ±c2 x4 ,

y = cx4 ,

(c = ±c2 ).

(1.5)
dy
y3
= 2,
dx
x

Ejercicios: EDO’s de primer orden

3

dx
1
dy = 2 ,
y3
x
Z
Z
y −3 dy = x−2 dx,
1 −2
y = −x−1 + c1 ,
−2
−1
−1
=
+ c1 ,2y 2
x

2
1
= + c,
2
y
x

c = −2c1 .

Solución implícita
1
2 + xc
=
.
y2
x
Solución explícita

r
y=±

x
.
2 + cx

(1.6)
x2 y 2
dx
=
,
dy
1+x
µ
¶
1+x
2
dx,
y dy =
x2
¶
Zµ
Z
1
1
+
y 2 dy =
dx,
x2 x
1
13
y = − + ln |x| + c1 .
3
x

Solución implícita
y 3 = 3 ln |x| −
Solución explícita
y=

3
+ c,
x

r
3

3 ln |x| −

(c = 3c1 ) .
3+ c.
x

(1.7)

−

1
2

Z

dy
= e3x+2y ,
dx
dy
= e3x · e2y ,
dx
dy
= e3x dx,
e2y
Z
Z
e−2y dy = e3x dx,
e−2y (−2) dy =

1
3

Z

e3x 3 dx,

1
−1 −2y
= e3x + c1 .
e
2
3

Ejercicios: EDO’s de primer orden

4

−3e−2y = 2e3x + c,
(1.8)

Solución implícita

(c = 6c1 ) .

¢
¡
¢
¡
4y + yx2 dy − 2x + xy 2 dx = 0,
¡
¢
¡
¢
4y + yx2 dy = 2x + xy 2dx,
¢
¡
x 2 + y2
dy
=
,
dx
y (4 + x2 )
x
y
dy =
dx,
2
2+y
4 + x2
Z
Z
x
y
dy =
dx,
2 + y2
4 + x2
Z
Z
1
1
2y
2x
dy =
dx,
2
2 + y2
2
4 + x2
¢1¡
¢
1¡
ln 2 + y 2 = ln 4 + x2 + c1 .
2
2

¢
¡
¢
¡
ln 2 + y 2 = ln 4 + x2 + c2 ,

(c2 = 2c1 ) .

Calculamos la solución explícita
¢
¡
¢
¡
ln 2 + y 2 − ln 4 + x2 = c2 ,
ln

µ

2 + y2
4 + x2

¶

= c2,

2 + y2
= ec2 = c,
4 + x2

soluciones explícitas
(1.9)

2 + y2
= c,
4 + x2
¡
¢
2 + y 2 = c 4 + x2 ,
¡
¢
y 2 = c 4 + x2 − 2,

p
y = ± c (4 + x2 ) − 2.
2y (x + 1) dy = x dx,
x
2y dy =
dx,
x+1
Z
Z
x
dx,
2y dy =
x+1

Resolvemos la integral del lado derecho
¶
Z
Z
Zµ
x
x+1−1
1
dx =
dx =
1−
dx
x+1
x+1
x+1
= x − ln |x + 1| + c

Ejercicios: EDO’s deprimer orden

5

y 2 = x − ln |x + 1| + c.
(1.10)
dx
y ln x
=
dy

µ

y ln x dx =

(y + 1)
dy,
x2

y+1
x

¶2

,

2

(y + 1)2
dy = x2 ln x dx,
y
Z
Z
2
(y + 1)
dy = x2 ln x dx,
y

resolvemos la integral del lado izquierdo
Z

2

(y + 1)
dy
y

=
=

Z

y 2 + 2y + 1
dy =
y

y2
+ 2y + ln |y | ,
2

¶
Zµ
1
y+2+
dy
y

resolvemos la integral dellado derecho
Z
x2 ln x dx = integral por partes,
tomamos

1
u = ln x
du = x dx
13
2
dv = x dx v = 3 x

Z

x2 ln x dx =
=
=

)

Z
1 31
13
x ln x −
x dx
3
3x
Z
1
13
x ln x −
x2 dx
3
3
1
13
x ln |x| − x3 + c,
3
9

finalmente, la solución es
1
1
y2
+ 2y + ln |y | = x3 ln |x| − x3 + c,
2
3
9
Ejercicio 2 Resuelve las siguientes EDO’s separables.
1.

ds...