Matematicas 3

INTEGRAL DE LINEA

Puede seguirse un procedimiento para definir las integrales de línea de funciones de varias variables sobre curvas en dos o tres dimensiones. Sea f una función de dos variables x y y que es continua en una región D, la cual contiene una curva regular C con una parametrización

x = g (t), y = h (t); a ≤ t ≤ b.

Se definirán tres integrales diferentes de f sobre C.Comenzamos dividiendo el intervalo del parámetro [a, b] escogiendo

a = 10 < 11< 12 < ... < 1n = b.

La norma de esta partición, es decir, la longitud del mayor subintervalo [tk-1, tk], se denota por ||∆||. Si P (xk, yk) es el punto de C correspondiente a tk, entonces los puntos P0, P1, P2, ..., Pn dividen a C en n subarcos Pk-1 Pk.

Sean ∆xk = xk – xk-1, ∆yk = yk – yk-1, ∆sk = longitud de Pk-1 Pk.Para cada k, sea Q(uk, vk) un punto del subarco Pk-1 Pk correspondiente a algún número en [tk-1, tk] (véase la figura 18.10). Consideremos ahora las tres sumas

∑ f(uk, vk)∆sk, ∑ f(uk, vk) ∆xk, ∑ f(uk, vk)∆yk

Si los límites de estas sumas existen cuando ||∆|| → 0, son entonces las integrales de línea def sobre C con respecto a s, x y y, respectivamente, y se denotan como sigue

[pic]Integrales de línea en dos dimensiones (18.8)

El término "integral de líneas" se refiere a una integral sobre una línea curva, que podría ser en ciertos casos una línea recta. Se le podría llamar también genéricamente integral de curva.
Si f es continua en D, entonces los límites que (18.8) existen y son los mismos para todas las parametrizaciones (siempre y cuando tengan la mismaorientación). Además, las integrales se pueden evaluar sustituyendo x = g (t), y = h (t), o sea la parametrización de C y reemplazando las diferenciales por:

ds = √(dx)2 + (dy)2 = √[g’(t)]2 + [h’(t)]2 dt

dx = g’(t)dt, dy = h’(t) dt

Observese que según la definición (13.6), la fórmula para ds es la diferencial de la longitud de arco. A continuación se enuncian estos hechos como referencia.

Teoremade evaluación para integrales de línea (18.9). Si una curva regular C está dada por x = g (t), y = h (t); a ≤ t ≤ b, y f (x, y) es continua en una región D que contiene a C, entonces

[pic]

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Independencia De La Trayectoria.

A una curva regular parte por parte con extremos A y B se le llama a veces trayectoria de A a B. a continuación se obtienen condiciones bajo las cualesuna integral de línea es independiente de la trayectoria en una región, en el sentido de que si A y B son puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valor para todas las trayectorias de A a B en esa región. Los resultados se demostrarán para integrales de línea en dos dimensiones. Las demostraciones para el caso de tres dimensiones son similares y se omiten.

TEOREMA DE GREEN

∫ f ’(x)dx = f(b) – f (a)

Dice que la integral de una función sobre un conjunto S = [a, b] es igual a una función relacionada (la anti derivada) evaluada de cierta manera sobre la frontera de S, en este caso consta sólo de dos puntos, a y b.

Teorema A
Sea C una curva cerrada simple, suave por partes, que forma la frontera de una región S plano xy. Si M (x,y) y N (x, y) son continuas y tienenderivadas continuas sobre y su frontera C, entonces

∂N_ – ∂M_ dA = M dx + N dy

∂x ∂y

Demostración. Probemos el teorema para el caso en el que S es tanto x-simple como y-simple y discutiremos después las ampliaciones al caso general. Puesto que S es y-simple, tiene la forma de la figura 1; es decir,

S = {(x, y): g(x) ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}

[pic]

Figura 1
Su frontera C consta de cuatroarcos C1, C2, C3, y C4 (C2 o C4 pueden ser degenerados)

M dx = ∫C1 M dx + ∫C2 M dx + ∫C3 M dx + ∫C4 M dx

Las integrales sobre C1 y C4 son cero, puesto que sobre estas curvas x es constante, por lo que dx = 0. En consecuencia,

M dx = ∫ M (x, g(x)) dx + ∫ M (x, f(x)) dx

= -∫ [M (x, f(x)) - M (x, g(x))] dx

= - ∫ ∫ ∂M(x, y) dy dx

∂y

= - ∫ ∫ ∂M dA

∂y

El teorema de Green...