Matematicas 4

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VICTORIA

MATERIA: MATEMATICAS IV

NOMBRE: Oscar Luna Torres
N° CONTROL: 09380290

TEMA:Unidad 5 TRANSFORMACIONES LINEALES

CATEDRATICO: ING. JOSE ANGEL MENDOZA SIERRA

Introducción.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En este documento se presentan las funciones entreespacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

5.1.-Transformaciones lineales.
 
Definición. Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V W, que es lineal, esto es para todo u,v V y todo a,b R verifica: T(au + bv)= aTu + bTv.
Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a R y todo u,v V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv.
En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo.

para distinguir el vector cero de V del vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V el vectorcero de V, y con 0W el vector cero de W.
Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es 0W, pues:
T0V = T(00V) = 0T0V = 0W.
 
Para todo espacio V, la función identidad, I: V V, que a todo vector v V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará esta transformación con la notación IV cuando sea necesariodistinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial.
Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V W, en la que todo vector v V tiene por imagen el vector 0W, también es lineal.


Propiedades básicas de las transformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, ..., vn en V y todos los escalares α1, α2,..., αn:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(α1v1, α2v2, ..., αnvn) = α1Tv1+ α2Tv2+ ... + αnTvn
Nota. En la parte (i) el 0 de la izquierda, es el vector cero en V mientras que el 0 del lado derecho, es el vector cero en W.
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1, v2, ..., vn}. Sean w1, w2, ..., wn n vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dostransformaciones lineales de V en W tales que T1vi= T2vi = wi para i = 1, 2, ..., n.
Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v. Es decir T1 = T2.
Teorema 3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ..., vn}. Sea también W un espacio vectorial que contiene a los n vectores w1, w2, ..., wn. Entonces existe una única transformación lineal
 T: V → W tal que Tvi = wi para i =1, 2, ..., n.

5.2.- Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

Ejemplo 1. (Rotación por un ángulo)
Sea   un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de   en   que gira cada vector   un ángulo , para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas,tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que   y            tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación  tal que  .

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo  y es lineal, ya que:

Ejemplo 2.  (Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de   en  que cada vector  lo reflejasobre el eje x, para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

 
 
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

 

Ejemplo 3. (Proyección ortogonal sobre el eje x)
En...