Matematicas diferenciales

Cap´ıtulo 14

Integrales impropias

Introduccio´n

En este cap´ıtulo se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann en IR a casos en que interviene el infinito, ya sea porque el intervalo de integraci´on sea no acotado, ya sea porque la funcio´n a integrar sea no acotada.
La integral b f se dice impropia si ocurre al menos una de las hipo´tesissiguientes:
i) El intervalo (a, b) no esta´ acotado.
ii) La funcio´n f no esta´ acotada en el intervalo (a, b).
Despu´es de estudiar las integrales impropias para los dos casos anteriores se introducen las funciones eulerianas, de importantes aplicaciones.
El cap´ıtulo finaliza con una seccio´n dedicada al estudio de la relacio´n entre series e integrales impropias,cuyo resultado fundamental es el criterio integral de convergencia de series.

1. Integrales en intervalos no acotados

1.1. Definici´on. Integral impropia de primera especie

Se denominan integrales impropias de primera especie a las integrales de funciones acotadas sobre intervalos de longitud infinita, es decir a integrales del tipo

f (x) dx

∞f (x) dx

∞
f (x) dx
−∞ a −∞

Veamos c´omo se definen:
a) Sea f (x) una funcio´n acotada e integrable en todo intervalo de la forma [a, M ], siendo
a un valor fijo y M uno cualquiera tal que M a. Se define la integral impropia
∞
f (x) dx como
a

∞
f (x) dx = lim
a M →∞ a

f (x) dx
y la integral delprimer miembro se dice que es convergente o divergente segu´n que exista l´ımite finito o infinito en el segundo miembro. Si no existe dicho l´ımite, se dice que no existe la integral.

b) Sea f (x) una funcio´n acotada e integrable en todo intervalo de la forma [M, b], siendo
b un valor fijo y M uno cualquiera tal que M ≤ b. Se define la integral impropia
bf (x) dx como
−∞

f (x) dx = lim
−∞ M →−∞ M

f (x) dx

y la integral del primer miembro se dice que es convergente o divergente segu´n que exista l´ımite finito o infinito en el segundo miembro. Si no existe dicho l´ımite, se dice que no existe la integral.

b a

Fig. 14.1

Nota: El a´rea de lazona sombreada es finita si la integral es convergente e infinita si es divergente, siendo la figura de la izquierda la correspondiente a la definici´on b) y la de la derecha a la definicio´n a).
c) Se define

∞
f (x) dx =

f (x) dx +
∞
f (x) dx = lim
c
f (x) dx + lim
M2
f (x) dx
−∞ −∞ c
M1 →−∞ M1
M2 →∞ c

siendo c un nu´mero realarbitrario. La integral del primer miembro se dice convergente si existen y son finitos ambos l´ımites, y se dice divergente si al menos uno de los dos l´ımites es infinito. En otro caso, se dice que no existe la integral.

Nota: El cara´cter de la integral y su valor no dependen del c elegido.

Ejemplo: Una integral impropia de primera especie importante, que juega el mismo papel∞

que la serie armo´nica generalizada en el caso de series num´ericas, es la integral
1
1
dx, xp
cuyo valor es
∞ dx 
1
1 xp
 p − 1

si p ≤ 1

si p > 1
Luego la integral converge para p > 1 y diverge para p ≤ 1.

Integrales en intervalos no acotados 441

Comentario: La convergencia de la integral impropia deuna combinacio´n lineal de funciones se puede estudiar, a partir de la definicio´n, usando la linealidad de la integral y
∞
del paso al l´ımite. De este modo, si
a
∞
f (x) dx y
a

g(x) dx son integrales impropias
∞
convergentes, tambi´en es convergente la integral impropia
a
αf (x) + βg(x) dx, para
todo α, β ∈ IR y adema´s

∞ ∞ ∞...