matematicas

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ESCUELA DE VERANO 2013 - MATEMATICAS II

Profesores: Ra´l Uribe, Pierre Paul Romagnoli, Leonardo S´nchez.
u
a
Profesores auxiliares: Benjam´ Ruiz, Jos´ Fern´ndez, Karen Barrera, Felipe B´ez,ın
e
a
a
Joaqu´ Mu˜oz, Sebasti´n Urz´a, Ignacio Riquelme, Leandro Z´niga, Braulio S´nchez.
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a
u
u˜
a

PAUTA EJERCICIO # 1
P1.- Demuestre la siguiente tautolog´
ıa
[p =⇒ (q =⇒ r)]⇐⇒ [(p ∧ q ) =⇒ r]
a) Usando tablas de verdad (1 pto)
b) Sin usar tablas de verdad (2 ptos)
Respuesta

a) Tabla de verdad

p
V
V
V
V
F
F
F
F

q
V
V
F
F
V
V
F
F

r q =⇒ r
V
V
FF
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V

p =⇒ (q =⇒ r)
V
F
V
V
V
V
V
V

p∧q
V
V
F
F
F
F
F
F

(p ∧ q ) =⇒ r
V
F
V
V
V
V
V
V

[p =⇒ (q =⇒ r)] ⇐⇒ [(p ∧ q ) =⇒ r]
V
V
VV
V
V
V
V

Pauta Ejercicio 1

2

´
b) Algebra de l´gica.
o
[p =⇒ (q =⇒ r)] ⇐⇒ [∼ p ∨ (q =⇒ r)]
⇐⇒∼ p ∨ (∼ q ∨ r)
⇐⇒ (∼ p∨ ∼ q ) ∨ r
⇐⇒∼ (p ∧ q ) ∨ r
⇐⇒ (p ∧ q ) =⇒ r
NOTA: Existem´s de una forma de resolver esta parte.
a

P2.- Considere la siguiente proposici´n l´gica
oo
(∀x ∈ N), (∀y ∈ N) : [(x · y ) es par =⇒ (x es par ∧y es par )]
a) Decida si la proposici´n esverdadera o falsa. Fundamente su respuesta. (0,5 ptos)
o
b) Niegue la proposici´n (0,5 ptos)
o
c) D´ un ejemplo (con n´meros naturales) que confirme lo decidido en la parte a)
e
u
(0,5 ptos)
Respuestaa) La proposici´n dice que si tomo cualquier par de naturales x, y cuyo producto x · y
o
sea un n´mero par, entonces necesariamente ambos, x e y son pares tambi´n. Esto es
u
e
claramenteFALSO, puesto que el producto entre un impar y un par tambi´n podr´
e
ıa
ser un n´mero par.
u
b) (∃x ∈ N), (∃y ∈ N) : [x · y es par ∧ (x es impar ∨ y es impar )]
La proposici´n anterior dice queexiste un par de naturales cuyo producto es par, y
o
alguno de los dos es impar, lo que es cierto. La parte (c) presenta un ejemplo num´rico
e
que ratifica este hecho.
c) Tomemos x = 5 y y =...