Matematicas

Ejercicios. Capitulo 2. ¿Qué es la derivada?

2.1.1. Para el movimiento de un punto material M a lo largo de una recta se observo la siguiente dependencia del camino recorrido en la función del tiempo t: a) z=t3+t; b) z= 1/1+t2.
¿A que es igual la velocidad media vmed del movimiento ene le intervalo de tiempo de t a t + ∆t? ¿A que es igual la velocidad instantánea vins en el momento t?2.1.2. Para el caso el caso de dependencia (2.1.4) del recorrido en función del tiempo hállese la magnitud vmed según la fórmula vmed= z (t+1/2∆t) – z (t-1/2∆t) / ∆t: compárese la expresión obtenida con el valor vins en el momento t.
2.2.1. Para el diamante, la cantidad de Q (T) de calor (en J) necesaria para calentar 1 Kg de sustancia de 0 a T°C, dentro de los limites de 0 a 700-800°C seexpresa bien por la siguiente fórmula empírica:
Q (T)= 0.3965T + 2.081x 10-3T2 – 5.024x 10-3T2.
Hállese la capacidad calórica media cmed del diamante en el intervalo de T a (T + ∆T) °C y también la capacidad calórica (instantánea) c= c (T) como función de T. ¿a que es igual, para el diamante, la magnitud c (0), c (100) y c (500)?
2.2.2. La cantidad Q (T) de calor necesario para calentar 1Kg de aguade 0 a T°C se expresa bien por la siguiente formula empírica:
Q (T)= 4186.68 + 8373.36x 10-5T2 + 1256x 10-6T3
¿A que es igual la capacidad calórica c (T) del agua? ¿Qué valor adquiere la misma para T= 10°, 90°?

2.2.3. Demuestre que (para cualquier sustancia y para cualquier temperatura T) el coeficiente volumétrico de expansión térmica (o sea “la velocidad instantánea de aumento delvolumen, en relación a la unidad de volumen, durante el aumento de la temperatura) es igual al coeficiente lineal triplicado de expansión térmica.

2.4.1. Hállense las derivadas de las funciones: a) y= x4; b) 4x3 – 3x2 + 2x – 1; c) y= (2x + 1)2; d) y= 1/x2; e) y= a (x + 1/x); f) y= ax2 + b/x2
2.4.2. Demuestre que la derivada de la función y= √x es igual a 1/2√x.
2.4.3. Demuestre que laderivada de la función y= x^3 es igual a 3/2√x, de forma análoga.
2.4.4. Hállense (1,2)2; (1,1)2, (1,05)2, (1,01)2 utilizando la formula (2.4.7.) Compare resultados con los exactos.
2.4.5. Para la función z (t)= 2 + 20t- 5t2 hállense mediante la derivada los valores z (1,1), z (1,05), z (0,98). Compárese los resultados obtenidos con los exactos. (Indicaciones: en el último caso considere t= 1, ∆t =-0.02)
2.5.1. Constrúyase la grafica de la función y= x2 + 1 dentro de los limites -1.5 ≤ x ≤ 2.5; trácense las tangentes a la grafica en lo puntos x = -1; 0; 1; 2.
2.5.2. Constrúyase la grafica de la función y= x3 – 3x2 dentro de los limites -1 < x < 3.5; trácense las tangentes a la grafica en los puntos x= -1; 0; 3. Indíquese los puntos de la grafica donde la tangente eshorizontal.
2.5.3. Indíquese en la curva y= x3 – x + 1 los puntos los cuales la tangente es horizontal. Constrúyase la curva cuando -2 < x < 2. (Indicación: es conveniente realizar los ejercicios 2.5.1- 2.5.3 en papel milimétrico en escala agradable.)
2.5.4. La grafica de la función y(x) se muestra en la figura, constrúyase (al ojo) la grafica de la función dy(x).

2.5.5. La grafica de lafunción dy(x) se muestra en la siguiente figura. Constrúyase (al ojo) la grafica de la función y(x), que pasa por el punto (5,0). ¿Bajo qué ángulo esta ultima grafica intersecta el eje de las ordenadas? ¿Bajo que ángulo intersecta el mismo, en el punto x = 5, en el eje de las abscisas?

2.5.6. Escríbase las ecuaciones de las tangentes a la parábola cubica y= x3 en los puntos: a) x= 0.5; b) x= 1.Hállense los puntos de intersección de estas tangentes con los ejes de coordenadas.
2.5.7. Indíquese una regla general que permita para las curvas:; a) y= ax2; b) y=bx3 hallar los puntos de intersección de la tangente a la curva en el punto ( x0, y(x0)) con los ejes coordenados.
2.6.1. Hállense los valores de x en los que se alcanza el máximo o el mínimo de las siguientes funciones. Analice...