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Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, que se llama razón de la progresión.

Dicho de otro modo, en una progresión geométrica el cociente entre cada término y el término anterior es una constante r, que se llama razón de la progresión.


Ejemplos.
La sucesión3,6,12,24,48,...... es una progresión geométrica de razón 2.
La sucesión 0,0.1,0.01,0.001,...... es una progresión geométrica de razón 0.1.
La sucesión 1,1/4,1/16,1/64,....... es una progresión geométrica de razón 1/4.

Término general

Nos interesa disponer de una fórmula que permita calcular el valor de cualquier término de la progresión, si se conocen su primer término a1 y la razón r.
Por definición deprogresión geométrica, es:

a2 = a1·r a3 = a2·r = (a1·r )·r = a1·r2 a4 = a3·r = (a1·r2 )·r = a1·r3

Y, en general, an = a1·rn-1 , que es la fórmula del término general de la progresión.
En la siguiente escena, puedes representar progresiones geométricas en el plano cartesiano. Utiliza los controles de la parte inferior para modificar el valor de la razón y observa qué ocurre con la sucesiónen los casos r El valor central es el tercero: . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (, ) y otros dos por encima de él (, ).

Datos agrupados
Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calculaa través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Donde y son las frecuencias absolutas acumuladas tales que , y son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y es la abscisa a calcular, la moda. Se observa que es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.Ejemplos para datos sin agrupar
Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:
Calificaciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Número de alumnos
2
2
4
5
8
9
3
4
2
Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas . Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene.
Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20
Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.
Ejemplo 2 : Cantidad (N) par de datos
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de unaclase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Calificaciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Número de alumnos
2
2
4
5
6
9
4
4
2
Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas . Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene Formula: (Donde n= 38 alumnos divididos entre dos).
Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19
Con lo cual la mediana será la mediaaritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.
Ejemplo para datos agrupados
Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.
Entre 1.70 y 1.80 hay 3estudiantes.





Estadística inferencial
Pretende avanzar más en el estudio de la realidad socioeducativa, pues le corresponde decidir sobre aquellas cuestiones no resueltas por la descriptiva; así, trata de extrapolar los resultados que se han obtenido en muestras a las poblaciones respectivas de las que proceden. En este sentido podemos afirmar que se ocupa de los métodos estadísticos...