Matematicas

1. Continuidad
Una función continua es aquella para la cual, se producen puntos cercanos del dominio de pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La noción de derivada se asocia a la de límite. Por tanto, una derivadapuede no existir por las mismas causas que un límite. Cuando para una función en un punto existen derivadas por la derecha y por la izquierda y ambas coinciden, la función se denomina derivable en ese punto. De ello se deduce que existen dos clases de funciones claramente no derivables:

Cuando no existe el límite que define la derivada: por ejemplo, por la presencia de un salto o unadiscontinuidad.
Cuando existen las dos derivadas laterales, pero no coinciden (puntos angulosos): en este caso, es evidente que las pendientes de las rectas tangentes por la derecha y por la izquierda, serán distintas.

Las nociones de derivabilidad y continuidad de una función están estrechamente relacionadas. Los principios que relacionan ambos conceptos son los siguientes:

Una función f (x)derivable en un punto x = a, o en un intervalo (a, b), es necesariamente continua en dicho punto o intervalo.
Una función f (x) continua en un punto x = a o un intervalo (a, b) puede ser o no derivable en dicho punto o intervalo. Por ejemplo, una función con un punto anguloso es continua en él, pero no puede derivarse en el mismo (existen derivadas por la derecha y por la izquierda, pero son diferentes).La continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva. La continuidad en matemáticas sostiene que una función continúa será aquella para la cual, a modo intuitivo, para aquellos puntos cercanos se producen ciertas variaciones en los valores de la función. Se dice que unafunción f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

La función existe en a.
Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto. Por otra parte, se considera que la función escontinua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b.











2. FUNCIONES CONTINUAS
Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales:
Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales. como por ejemplo: f(x)=3x4-5x+6
Las funciones racionalesobtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es f(x)=(anxn+…+ax+a0)/(bmxm+...+bx+b0), grado n en el numerador y grado m en el denominador. Por tener variables en su denominador el dominio de la función excluye los valores que la hacenindefinida. Por lo general las funciones racionales excluyen valores de su dominio dado que tienen que mantener su denominador en un valor distinto de cero. Así también por lo regular tenemos valores en su alcance a los cuales la función tiene una tendencia y a veces no logra asumir.
Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición.
Las funcionestrigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).

3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Dadas dos funciones f(x) y g(x) continúas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:
La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo....