Matematico

4◦ informe de Mec´nica clasia
a
Rodrigo Andres Vasquez
Universidad del Tolima
4 de septiembre de 2012

Actividad 1
Obtener explicitamente la matriz A = B (ψ )C (θ)D(φ) siguiendo el procedimiento empleado en el libro de J. Mahecha, p´ginas: 222-224.
a
Soluc´n:
o
A continuaci´n se presenta las tres rotaciones que se efectuan para pasar de un sistema
o
no primado a un sistema primado.Sea P el sistema sin rotar y P despues de la rotaci´n,
o
entonces diremos que en P los ejes estaran dados por x, y y z y en el sistema primado
P seran x , y y z .

Despues de rotar los ejes se hace necesario conocer los angulos directores, denotados
αij , entre los dos sistemas. As´ basta con encontrar los cosenos de la base e1 , e2 y e3
ı,
ˆˆ
ˆ
y la base primada e1 , e2 y e1 .
ˆˆ
ˆUsando la identidad de producto escalr se sabe entonces que el coseno entre dos angulos
es igual a:
ei · ej = αij
ˆˆ
En el siguiente grafico se puede apreciar el caso de α11 = e1 · e1
ˆˆ

Los vectores unitarios e1 y e1 estan en direcci´n de los vectores a y b respectivamente.
ˆ
ˆ
o
El segmento l con los segementos de a y b forman un tri´ngulo que satisfase el teorema
a
del coseno, esdecir,
l2 = a2 + b2 − 2ab cos α
(1)
El segmento OQ se puede medir en funci´n del ´ngulo φ o en funci´n de ψ , as´
o
a
o
ı:
a cos φ = b cos ψ

(2)

Con el segmento l se forma un triangulo a partir de los puntos terminales de los segmentos a y b con el punto Q de tal forma que:
l2 = (a sen φ)2 + (b sen ψ )2 − 2(a sen φ)(b sen ψ ) cos (π − θ)
l2 = (a sen φ)2 + (b sen ψ )2 − 2(a sen φ)(bsen ψ )(cos π cos θ + @@π sen θ)
sen @@
@

−1

gual a
l2 = a2 sen2 φ + b2 sen2 ψ + 2ab sen φ sen ψ cos θ
Igualando (1) y (3)
a2 + b2 − 2ab cos α = a2 sen2 φ + b2 sen2 ψ + 2ab sen φ sen ψ cos θ
a2 + b2 − 2ab cos α = a2 (1 − cos2 φ) + b2 (1 − cos2 ψ ) + 2ab sen φ sen ψ cos θ
2
2
2
2
 
  
 
a2 b2
a2
b2
  +   − 2ab cos α =   − a cos φ +   − b cos ψ + 2ab sen φ sen ψ cos θ

−2abcos α = −a2 cos2 φ − b2 cos2 ψ + 2ab sen φ sen ψ cos θ
a2 cos2 φ b2 cos2 ψ
−
+ b sen φ sen ψ cos θ
2a
2a
(a cos φ)2 (b cos ψ )2
−b cos α = −
−
+ b sen φ sen ψ cos θ
2a
2a

−b cos α = −

2

(3)

Ahora, sustituyendo la ecuaci´n (2) en esta ultima,
o
´
(b cos ψ )2 (b cos ψ )2
−
+ b sen φ sen ψ cos θ
2a
2a
2(b cos ψ )2
¡
−b cos α = −
+ b sen φ sen ψ cos θ
2a
¡
b2 cos2ψ
+ b sen φ sen ψ cos θ
−b cos α = −
a
2
b¡ cos2 ψ
+ ¡ sen φ sen ψ cos θ
b
−¡ cos α = −
b
a
−b cos α = −

y de la ecuaci´n (2) a =
o

α11

b cos ψ
cos φ

1
cos φ
=
,
a
b cos ψ

=⇒

1
− cos α = − (b cos2 ψ ) + sen φ sen ψ cos θ
a
cos φ
2
− cos α = −
(¡ cos¡ ψ ) + sen φ sen ψ cos θ
b
cos ¨
ψ
b¨¨
¡
= cos α = cos φ cos ψ − sen φ sen ψ cos θ

siendo esteresultado la primer componente de la matriz de rotaci´n. (Primer coseno
o
director)
Para calcular α12 = e1 · e2 basta sustituir a φ por φ + 3π/2 en α11 ,
ˆˆ
3π
α12 = cos φ +
2


3π
cos ψ − sen φ +
2


sen ψ cos θ







3π
3π 
3π
3π
= cos φ cos
− sen φ sen  cos ψ − sen φ cos
+ sen
cos φ sen ψ cos θ




2
2
2
2
−1

0

−1

0

= sen φ cos ψ +cos φ sen ψ cos θ
Las componentes α21 y α22 se pueden obtener de manera similar realizando las siguientes sustituciones:
α21
α22

sustituendo ψ ⇒ ψ + π/2
sustituendo φ ⇒ φ + 3π/2

en α11
en α21

obteniendo
α21 = − cos φ sen ψ − sen φ cos ψ cos θ
α22 = − sen φ sen ψ + cos φ cos ψ cos θ
3

El coseno director α33 se puede obtener directamente ya que la rotaci´n de este eje solo
oes de θ, por tanto,
α33 = cos θ
La matriz por ser de rotaci´n debe cumplir la condici´n de ortogonalidad, es decir
o
o
2
2
2
αi1 + αi2 + αi3 = 1

para todo i

lo cual permite calcular los cosenos α13 y α23 a partir de α11 , α12 y α21 , α22 respectivamente, por tanto

α13 =

2
2
1 − α11 − α12 = sen ψ sen θ

α23 =

2
2
1 − α21 − α22 = cos ψ sen θ

Ahora, la matriz de...