Matematiques Financeres

M

IES Lluís de Peguera Curs 2012-2013

La portada reprodueix una litografia de Maurits Cornelis Escher, anomenada Waterfall (la imatge s’ha obtingut de http://www.mcescher.com/).

ÍNDEX
1 1.1 1 Resum teòric 1 1.1.1 Interès simple 1 1.1.2 Interès compost 1 1.1.3 Taxa anual equivalent (TAE) 1.1.4 Anualitats 2 1.1.5 Anualitats de capitalització 1.1.6 Anualitats d’amortització Exercicis 52 2 3

1.2

iii

1
.

M AT E M ÀT I C A F I N A N C E R A

Q
. .

uan dipositem diners en un banc o demanem un préstec, aquest ens paga o ens cobra una quantitat addicional, anomenada interès. En qualsevol dels dos casos, s’acorda una taxa d’interès, generalment anual, que és l’interès que es rep o es paga per cada 100 e. Interès simple

La taxa d’interès també s’anomena rèdit otipus d’interès.

Un capital està invertit a interès simple quan els guanys rebuts a cada període d’inversió es retiren i no s’acumulen al capital que els ha produït a l’hora de calcular els interessos del següent període. L’interès simple I que obtenim a partir d’un capital inicial C0 , durant n anys és r I = C0 · ·n (1) 100 on r és el tipus d’interès anual en tant per cent. Si considerem i =r/100 tindrem el tipus d’interès anual en tant per u, i la fórmula anterior es transforma en I = C0 · i · n . . Interès compost (2)

A l’hora d’aplicar les fórmules (1) o (2) , el tipus d’interès i el temps han de fer referència a les mateixes unitats.

Diem que un capital està col.locat a interès compost si cada cert temps, anomenat període de capitalització, els interessos generats pelcapital inicial s’acumulen al capital per produir nous interessos durant el següent període de temps. Sovint, els períodes de capitalització són d’un any. Aleshores, el capital final ve donat per la fórmula: Cf = C0 (1 + i)n on Cf C0 i n → → → → capital final (suma del capital inicial més els interessos) capital inicial tipus d’interès anual, expressat en tant per u temps, expressat en anys (3)

: Enla fórmula (3) el temps t i el tipus d’interès i han d’estar donats en unitats referides al període de capitalització. Per exemple, en una operació amb capitalització mensual, el temps s’haurà d’expressar en mesos i el tipus d’interès haurà de ser mensual. En general, si k és el nombre de vegades que el període de capitalització està contingut en un any, aleshores Cf = C0 1 + i k
kn

(4)

12

Així, per exemple • Si els interessos s’acumulen per mesos: Cf = C0 1 + i 12
12n

• Si els interessos s’acumulen per trimestres: Cf = C0 1 + i 4
4n

. .

Taxa anual equivalent (TAE)

La TAE coincideix amb l’interès simple que s’hauria d’aplicar a un capital inicial C0 per tal d’obtenir els mateixos interessos que aplicant un tipus d’interès compost amb freqüència de capitalitzaciók

Encara que el tipus d’interès sigui anual, és freqüent que el termini d’abonament d’interessos, o la seva amortització, es facin en períodes inferiors a un any (mensuals, trimestrals,etc.). A interès simple, és equivalent aplicar, per exemple, un 1 % mensual, un 6 % semestral o un 12 % anual perquè els interessos no s’acumulen al capital. Però això no és així a interès compost, que és lasituació habitual. Quan una operació financera es capitalitza en períodes inferiors a un any, la taxa anual d’interès teòrica és inferior a la real. La primera s’anomena taxa nominal i la segona taxa anual equivalent, TAE. La TAE és el tipus d’interès anual real corresponent a un determinat tipus d’interès, i, quan els períodes de liquidació, k, són inferiors a un any. La fórmula per calcular la TAEés: TAE = 1+ i k
k

−1

amb

i=

r 100

(5)

. .

Anualitats

Una anualitat és una quantitat fixa de diners que s’ingressa periòdicament en un banc amb dues finalitats possibles: • Constituir un capital C al cap d’un cert nombre d’anys: anualitats de capitalització. • Tornar un capital C al cap d’un cert nombre d’anys: anualitats d’amortització. Aquest tipus d’operacions financeres...