matemáticas

Contenido
Espacios vectoriales sobre un cuerpo K

Espacios vectoriales

Subespacios vectoriales
Dependencia e independencia lineal
Bases y dimension

Subespacios vectoriales y dimensión
Rango de un sistema de vectores y de una matriz
El teorema de Rouché-Fröbenius
Método de Gauss y rango

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Definición de espacio vectorial

En lo siguiente vamos a trabajar con vectores y conescalares. El símbolo
K indicará el cuerpo de los escalares. Según el caso, K será el cuerpo de
los números racionales Q, de los números reales R, de los números
complejos C, o de los interos módulo un número primo p, Zp .
Los ejemplos más conocidos de espacios vectoriales son los vectores del
plano R2 y del espacio R3 respecto de la suma de vectores y producto
por escalares usuales.

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2Definición de espacio vectorial

Introduciendo un sistema de coordenadas ortogonales en el plano (o
en el espacio tridimensional), es decir, seleccionando un punto O, dos
rectas orientadas perpendiculares (o tres si se trata del espacio
tridimensional) y una magnitud unitaria, cada punto P admite una
representación analítica en términos de coordenadas o componentes
(x, y ) en el caso delplano o (x, y , z) en el caso del espacio tridimensional.
Como el segmento orientado OP representará un vector v, diremos
también que el vector v tiene componentes (x, y ) (o (x, y , z)).
Por tanto, dos segmentos orientados OP y OQ son equivalentes (es
decir, representan el mismo vector geométrico v ) si y sólo si los puntos P
y Q tienen iguales coordenadas.

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Definición de espaciovectorial
Las operaciones definidas sobre vectores geométricos se pueden escribir
en términos de coordenadas: sean v = (v1 , v2 , v3 ) y w = (w1 , w2 , w3 ) dos
vectores en R3 y k ∈ R, entonces
v + w = (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 )
kv = (kv1 , kv2 , kv3 )
v − w = (v1 − w1 , v2 − w2 , v3 − w3 )

Definición de espacio vectorial

Definición
Sea (K, +, ·) un cuerpo. Llamaremos espaciovectorial sobre el cuerpo
(K, +, ·) a cualquier terna (E, +, ·) formada por un conjunto no vacío E,
una operación + : E × E → E, y una función (producto por escalares)
· : K×E → E de manera que se satisfagan las siguientes propiedades:
1. (E, +) es un grupo abeliano (la suma es asociativa, conmutativa,
existe el elemento neutro 0 y todo vector u tiene un opuesto −u);

En le caso de vectores v y wen R2 estas operaciones están definidas de
forma análoga.

2. ∀u, v ∈ E, ∀a ∈ K
3. ∀u ∈ E, ∀a, b ∈ K,

(a + b) · u = a · u + b · u,

Ejemplo

4. ∀u ∈ E, ∀a, b ∈ K,

(a · b) · u = a · (b · u),

En R3 , sean k = 2, v1 = (−1, 2, 0), v2 = (4, −3, 2) y v3 = (−1, −1, −1).
Entonces v1 − k(v1 + v2 ) + v3 = (−8, 3, −5).

5. siendo 1 ∈ K, el elemento neutro del producto en K, ∀u ∈ E,
1 ·u = u.

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Definición de espacio vectorial
En cada caso la naturaleza de la operación (es decir, si se trata de la
suma en K o en E y lo mismo con el producto de un escalar por un
elemento de E y el producto en K) quedará normalmente determinada
por la naturaleza de los operandos.
Así por ejemplo, si E =R2 , el plano euclídeo, u, v ∈ R2 , y a, b ∈ R, en la
expresión
(a + b) · u
esobvio que la suma considerada es la suma de los números reales a y b,
mientras que en la expresión
a · (u + v )
la suma considerada es la definida en R2 .
También señalaremos que es usual omitir el “·”, escribiendo por ejemplo
a(bu) en lugar de a · (b · u), por lo que habitualmente lo haremos así.

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a · (u + v ) = a · u + a · v ,

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Ejemplos de espacios vectoriales
Ejemplos
Losvectores del plano R2 y del espacio R3 respecto de la suma
de vectores y producto por escalares usuales.
Las matrices fila con coeficientes reales ó complejos M1×n (K)
con respecto de la suma de filas y producto de una fila por un
número.
Las propiedades que satisfacen las matrices de orden m × n con
coeficientes en un cuerpo K respecto de la suma y producto por
escalares definidos hacen que...