mates

Mª Àngels Lonjedo
Ricard Peiró

Trigonometria
Resolució de triangles.

Raons trigonomètriques d’un angle agut.
∆

Considerarem el triangle rectangle ABC on A = 90 º
Recordem que en qualsevol triangle rectangle
Es complia el teorema de Pitàgores:
a2 = b2 + c 2
Definim sinus de l’angle α i ho representem per sin α
AB catet oposat
sinα =
=
hipotenusa
CB
Definim cosinus de l’angleα i ho representem per cos α
CA catet contigu
cos α =
=
hipotenusa
CB
Definim tangent de l’angle α i ho representem per tg α
AB catet oposat
tg α =
=
CA catet contigu

Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol.
Siga el punt Q(x,y)
Considerem la circumferència de centre O que passa pel
punt Q i té radi r.
Considerem l’angle α = ∠POQ
Definim:
y
sin α =
r
x
cos α =
r
y
tgα =x

1

Mª Àngels Lonjedo
Ricard Peiró

Relacions fonamentals entre les raons trigonomètriques.
Donat un angle α es compleixen les següents relacions:
sin 2 α + cos 2 α = 1

sin α
cos α
Aquestes dues identitats s’anomenem les relacions fonamentals de la trigonometria.
tg α =

Ús de la calculadora:
Modes angulars de la calculadora:
MODE DEG mesures sexagesim als
MODE GRA mesurescentesimals
MODE RAD mesures en radians
Coneixent l’angle α es poden calcular les raons trigonomètriques amb les tecles sin
Exemple:
Calculeu tg 43º 25'50" , sin50º30’,
Amb calculadores antigues:
º’”
º’”
43
25
º’”
50
tan
=
0.9467
50

º’”

30

º’”

Amb calculadores noves
º’”
tan
43
25
sin

50

º’”

30

sin

=

0.7716

º’”

50

º’”

º’”

=

cos0.7716

=

0.9467

Coneixent les raons trigonomètriques de l’angle α podem calcular l’angle α amb les tecles
sin −1 cos −1 tan −1
Exemple:
Calculeu l’angle a tal que sin α = 0. 34 .
α = arcsin(0.34 )
Amb calculadores antigues:
0.34
19º52’37”
sin −1 SHIFT º ’ ”
Amb calculadores noves:
SHIFT º ’ ”
sin −1 0.34 =

19º52’37”

2

tan

Mª Àngels Lonjedo
Ricard PeiróResolució de triangles rectangles.
Resoldre un triangle és conéixer els tres costats i el tres angles.
Amb l’ajut del teorema de Pitàgores, de les raons trigonomètriques, i de la calculadora es pot
resoldre qualsevol triangle rectangle. Vegem els següents exercicis:
Problema 1:
∆

Del triangle rectangle ABC on A = 90 º coneguem
a = 5cm, b = 4cm
Determineu tots els costats, el angles i l’àrea deltriangle.
Aplicant el teorema de Pitàgores:
a2 = b2 + c 2
5 2 = 4 2 + c 2 , 25 = 16 + c 2 , c 2 = 9
Aleshores c = 3 .
Aplicant qualsevol raó trigonomètrica podem calcular l’angle C.
b
4
cos C = , cos C = = 0 .8
a
5
Amb ajut de la calculadora C = arccos 0 .8 = 36 º52'12"
Sabent que els tres angles d’un triangle sumen 180º ( A + B + C = 180 º )
Tenim que B + C = 90 º , Aleshores B = 90º −C = 90 º −36º 52'12" = 53 º 7'48"
b ⋅c 4⋅3
Per ser el triangle rectangle, l’àrea és S =
=
= 6cm 2
2
2
Problema 2:
Per pujar d’alt del Miquelet de València utilitzem una escala
de 55m, la qual forma amb l’horitzontal un angle de 67º36’.
Amb aquestes dades calculeu l’altura del Miquelet.
Notem que l’horitzontal, i el Miquelet formen un angle recte.
Siga x l’altura del Miquelet,Utilitzant la raó trigonomètrica sinus,
x
sin 67º 36' =
55
Aleshores, x = 55 ⋅ sin 67º 36' = 50'85m
Problema 3:
L’angle d’elevació del cim d’una torre mesurat des d’un punt C de
l’horitzontal és de 22º. Avançant 12 metres cap a la torre, tornem a mesurar
l’angle d’observació que és ara de 45º. Calculeu l’altura de la torre.
Solució:
Siga el següent gràfic:

3

exterior

Mª ÀngelsLonjedo
Ricard Peiró

Siga x = AD , siga h = AB
∆

h
12 + x
∆
h
Siga el triangle rectangle ABD tg 45º =
x
Amb l’ajut de la calculadora tg22 º = 0.4040, tg45 º = 1
Considerem el següent sistema d’equacions:
h = (12 + x )tg22º
h = (12 + x ) ⋅ 0'4040
substituint 

h = x ⋅ tg45 º
h = x

Siga el triangle rectangle ABC tg22 º =

h = x

 x = (12 + x ) ⋅ 0'4040
h = x
...