Mates

Definiciones y Propiedades

Rango

Cramer

Determinantes
Juan Ram´on Garc´ıa Rozas
Justo Peralta L´opez
´
Departamento de Algebra
y An´alisis Matem´atico
Matem´aticas Generales

Octubre 2011

Inversa

Definiciones y Propiedades

Rango

Cramer

Definici´on de Determinante
Sea A = (aij ) ∈ M, su determinante para n = 1, 2, 3 se obtiene de
la siguiente manera:
1. Si n =1, esto es, A = (a), entonces det(A) = a.
a11 a12
= a11 a22 − a21 a12 .
2. Si n = 2 entonces:
a21 a22
3. Si n = 3 tenemos la “regla de Sarrus”:

det(A) =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 +

a21 a32 a13 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a21 a12 a33 .

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Cramer

Definici´on de Determinante
Sea A = (aij )∈ M, su determinante para n = 1, 2, 3 se obtiene de
la siguiente manera:
1. Si n = 1, esto es, A = (a), entonces det(A) = a.
a11 a12
= a11 a22 − a21 a12 .
2. Si n = 2 entonces:
a21 a22
3. Si n = 3 tenemos la “regla de Sarrus”:

det(A) =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 +

a21 a32 a13 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a21 a12 a33 .

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Definici´on de Determinante
Sea A = (aij ) ∈ M, su determinante para n = 1, 2, 3 se obtiene de
la siguiente manera:
1. Si n = 1, esto es, A = (a), entonces det(A) = a.
a11 a12
= a11 a22 − a21 a12 .
2. Si n = 2 entonces:
a21 a22
3. Si n = 3 tenemos la “regla de Sarrus”:

det(A) =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

= a11 a22 a33 + a12a23 a31 +

a21 a32 a13 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a21 a12 a33 .

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Definici´on de Determinante
Sea A = (aij ) ∈ M, su determinante para n = 1, 2, 3 se obtiene de
la siguiente manera:
1. Si n = 1, esto es, A = (a), entonces det(A) = a.
a11 a12
= a11 a22 − a21 a12 .
2. Si n = 2 entonces:
a21 a22
3. Si n = 3 tenemos la “regla deSarrus”:

det(A) =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 +

a21 a32 a13 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a21 a12 a33 .

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Cramer

Determinantes en general
Dada A de orden n, sea Aij la submatriz de orden n − 1 de A que
resulta al suprimir la fila i-´esima y la columna j-´esima de A y sea
sij = (−1)i+j · |Aij|,
|Aij | =menor complementario de la entrada aij de A,
sij = adjunto de aij ,
n

aij sij ,

det(A) =

∀j = 1, 2, ..., n

i=1

(desarrollo de Laplace por la columna j-´esima),
n

|A| =

aij sij , ∀i = 1, 2, ..., n
j=1

(desarrollo de Laplace por la fila i-´esima).

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Determinantes en general
Dada A de orden n, seaAij la submatriz de orden n − 1 de A que
resulta al suprimir la fila i-´esima y la columna j-´esima de A y sea
sij = (−1)i+j · |Aij |,
|Aij | =menor complementario de la entrada aij de A,
sij = adjunto de aij ,
n

aij sij ,

det(A) =

∀j = 1, 2, ..., n

i=1

(desarrollo de Laplace por la columna j-´esima),
n

|A| =

aij sij , ∀i = 1, 2, ..., n
j=1

(desarrollo de Laplace porla fila i-´esima).

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Determinantes en general
Dada A de orden n, sea Aij la submatriz de orden n − 1 de A que
resulta al suprimir la fila i-´esima y la columna j-´esima de A y sea
sij = (−1)i+j · |Aij |,
|Aij | =menor complementario de la entrada aij de A,
sij = adjunto de aij ,
n

aij sij ,

det(A) =

∀j = 1, 2, ..., ni=1

(desarrollo de Laplace por la columna j-´esima),
n

|A| =

aij sij , ∀i = 1, 2, ..., n
j=1

(desarrollo de Laplace por la fila i-´esima).

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Determinantes en general
Dada A de orden n, sea Aij la submatriz de orden n − 1 de A que
resulta al suprimir la fila i-´esima y la columna j-´esima de A y sea
sij = (−1)i+j ·...