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Notas de Integral de Riemann-Stieltjes
1. Definici´n y propiedades o
Dadas funciones g, F : [a, b] → R que cumplan ciertos requisitos, definiremos la b expresi´n a g(x)dF (x) de tal manera que cuando consideremos el caso particular en o que F (x) = x nos quede la definici´n cl´sica de integral de Riemann. o a Definimos una partici´n del intervalo [a, b] como el conjunto finito o P = {a = x0 , x1 ,...., xn = b} donde xi−1 < xi para todo i = 1, 2..., n. Junto con la partici´n, elegimos para cada o i = 1, 2..., n, puntos intermedios ci ∈ [xi−1 , xi ] . Definici´n 1.1. Dadas g, F : [a, b] → R y P partici´n (con sus correspondientes o o puntos intermedios ci ), definimos la suma parcial de Riemann-Stieltjes como
n

S (P, g, F ) =
i=1

g (ci ) (F (xi ) − F (xi−1 )) .

Observamos que cuandoF (x) = x, si le pedimos a g que sea integrable Riemann, b dichas sumas “se acercar´n” indefinidamente al valor a g(x)dx conforme “afinemos a suficientemente” la partici´n, en esa direcci´n apuntaremos. o o Definici´n 1.2. Dada P partici´n en [a, b] definimos o o P = m´x {xi − xi−1 , i = 1, 2..., n} a y le llamaremos norma de la partici´n. o

Definici´n 1.3. Dadas g, F : [a, b] → R , diremos que l´ P→0 S (P, g, F ) = I si y o ım s´lo si dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para toda P partici´n de [a, b] (con sus coro o respondientes puntos intermedios ci ) con P < δ, se cumple que |S (P, g, F ) − I| < ε. Definici´n 1.4. (Integral de Riemann-Stieltjes) o Dadas g, F : [a, b] → R , si existe lim P →0 S (P, g, F ) = I, diremos que la integral de Riemann-Stieltjes de g respecto de F en el intervaloexiste y vale I.
b b

Notaci´n: o
a

gdF =
a

g(x)dF (x).

1

Observaci´n 1.5. En el caso particular en que F (x) = x, la definici´n coincide con o o la de funci´n integrable Riemann en [a, b] . o Ejemplos 1.6. (verificarlos como ejercicio) 1. Si F (x) = k constante, entonces cualquiera sea g : [a, b] → R existe b adem´s a gdF = 0. a 2. Si g : [a, b] → R es continua, F (x) = 1[a,c] =existe
b a gdF b a gdF

y

1 si x ∈ [a, c] 0 si no

con c ∈ (a, b)

y adem´s a

b a gdF

= g(c). con c ∈ (a, b) entonces no existe

3. Si g(x) = F (x) = 1[a,c] =
b a gdF.

1 si x ∈ [a, c] 0 si no

Veremos en lo que sigue un par de caracterizaciones para la existencia de Teorema 1.7. Dadas g, F : [a, b] → R, entonces son equivalentes: (a) Existe I tal que lim
P →0 S

b a gdF.(P, g, F ) = I.

(b) Condici´n de Cauchy. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si P y Q son dos o particiones de [a, b] tales que P < δ y Q < δ, se cumple que |S (P, g, F ) − S (Q, g, F )| < ε. (c) Para toda sucesi´n{Pn }de particiones en [a, b] tales que Pn → 0 se cumple o que l´ n S (Pn , g, F ) = I. ım Demostraci´n. (a) ⇒ (b) Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para toda P partici´n de o o [a, b](con sus correspondientes puntos intermedios ci ) tal que P < δ, se cumple que |S (P, g, F ) − I| < ε/2. Entonces si tomamos P y Q dos particiones de [a, b] tales que P < δ y Q < δ, se cumplir´ que a |S (P, g, F ) − S (Q, g, F )| ≤ |S (P, g, F ) − I| + |S (Q, g, F ) − I| < ε/2 + ε/2 = ε. (b) ⇒ (c) Fijamos {Pn } sucesi´n de particiones en [a, b] tales que Pn → 0. Dado o ε > 0, tomamos el δ > 0 de lacondici´n de Cauchy, y por lo tanto existir´ un n0 o a tal que Pn < δ para todo n ≥ n0 . Entonces si consideramos n, m ≥ n0 , obtendremos que | S (Pn , g, F ) − S (Pm , g, F )| < ε por lo que la sucesi´n {S (Pn , g, F )} o 2

es de Cauchy, entonces existir´ I ∈ R tal que limn→+∞ S (Pn , g, F ) = I. Observaa mos que el valor de I depende de la elecci´n de la sucesi´n de particiones, faltar´ o oıa probar que el l´ ımite es el mismo cualquiera sea la sucesi´n de particiones. Consido ′ ′ o eremos entonces {Pn } otra sucesi´n de particiones en [a, b] tal que Pn → 0 y sea ′ I ′ tal que limn→+∞ S (Pn , g, F ) = I ′ . Consideramos entonces la siguiente sucesi´n o ′ , P , P ′ , ..., P , P ′ , .... entonces es claro que esta nueva sucede particiones: P1 , P1 2 2 n n si´n, llam´mosle {Qn } ,...