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CÁLCULO SUPERIOR ´ INTEGRAL DE LINEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE.
Curso del Instituto Tecnológico de Costa Rica

Walter Mora F.,
Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica. www.cidse.itcr.ac.cr

Capítulo 8

INTEGRAL DE L´ INEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE.

Walter Mora F. Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica.

8.1 CURVAS Y PARAMETRIZACIONES. Definición 8.1Consideremos la función vectorial continua r : [a, b] −→ Rn con r(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)). La imagen generada por r se dice que es la curva determinada por r y que une los puntos A = r(a) y B = r(b). • Si r(a) = r(b), la curva se dice cerrada. • Si r es inyectiva en [a, b], la curva se dice simple. Las curvas cerradas simples se llaman curvas de Jordan.
Cálculo Superior. Walter Mora F.Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

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INTEGRAL DE L´NEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE. I

curva

curva simple

curva cerrada

curva cerrada simple

Figura 8.1 Curvas

La derivada de r se define de la manera usual r (t) = lim r(t + h) − r(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)) h→0 h

Sea r(t) la descripción de una curva Cen el plano o en el espacio. El parámetro t podría ser tiempo, ángulo, longitud de arco, coordenada x, etc. Decimos que la curva C es → − regular en [a, b] si r (t) es continua en [a, b] y r (t) = 0 para todo t ∈ [a, b] (es decir las componentes de r no se anulan simultáneamente). También decimos que una curva C es regular a trozos en [a, b] si es regular en cada subintervalo de alguna particiónfinita de [a, b]. → − → − • En R2 escribimos r(t) = (x(t), y(t)) o también r(t) = x(t) i + y(t) j , con t ∈ [a, b] → − → − → − • En R3 escribimos r(t) = (x(t), y(t), z(t)) o también r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , con t ∈ [a, b] • Una función vectorial es de clase C1 si las derivadas de sus componentes son continuas.

EJEMPLO 8.1

(Curvas Orientadas)

Consideremos las curvas C1 y C2 (figura8.2)

B
4

B
4 3

3

2

2

A
1 -1 1 2

A
1 -1 1 2

C1

C2

Figura 8.2 Curvas C1 y C2 .

Ambas curvas tienen ecuación, en coordenadas rectangulares, y = x2 con x ∈ [−1, 2]. Pero C1 inicia en A = (−1, 1) y termina en B = (2, 4); mientras que C2 inicia en B y termina en A. Para parametrizar cada curva debemos tomar en cuenta su orientación.

CURVAS Y PARAMETRIZACIONES.

3• Una parametrización de C1 es (tomando a x = t como parámetro), → − → − r(t) = (x(t), y(t)) = (t,t 2 ) o también r(t) = t i + t 2 j con t ∈ [−1, 2]. Observe que r(−1) = A y r(2) = B. • Podemos parametrizar C2 con x(t) = 2 − t y y(t) = (2 − t)2 , con t ∈ [0, 3]. Así, r(0) = B y r(3) = A. Esta parametrización es correcta pues x(t) = 2 − t recorre de manera continua el intervalo [−1, 2] si t ∈[0, 3]. → − → − r(t) = (x(t), y(t)) = (2−t, (2−t)2 ) o también r(t) = (2−t) i + (2−t)2 j con t ∈ [0, 3].

EJEMPLO 8.2

Una elipse de ecuación

(x − h)2 (y − k)2 + = 1 se puede parametrizar con a2 b2

x(t) = h + a cos(t), y(t) = k + b sen(t) con t ∈ [0, 2π[.
EJEMPLO 8.3

Sea C la circunferencia de la figura 8.3. La ecuación de esta curva es (x − 1)2 + (y − 2)2 = 16, z = 3. Unaparametrización es → − → − → − r(t) = (1 + 4 cos(t)) i + (2 + 4 sen(t)) j + 3 k , t ∈ [0, 2π[

Z
3 2 1 1 1 2 3 2 3 4 5

Y

X
Figura 8.3 Curva C.

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INTEGRAL DE L´NEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE. I

EJEMPLO 8.4

El segmento de recta de A hasta B se puede parametrizar con r(t) = A + t(B − A) con t ∈ [0, 1].

EJEMPLO 8.5

El segmento C1 que va de A = (1, 2, 0) hasta B = (2, 1, 2) , figura8.4(a), se puede parametrizar con r(t) = A + t(B − A) = (1 + t, 2 − t, 2t) con t ∈ [0, 1].

EJEMPLO 8.6

A veces una curva C2 viene definida directamente por una parametrización. Por ejemplo la hélice x(t) = 2 cos(t), y(t) = 2 sen(t), z(t) = t/4 con t ∈ [0, 6π]. Figura 8.4(b).
Z

Z

1 1

Y
2

Y X

X

(a)
Figura 8.4 Curva C1 y C2 .

(b)

8.2

CAMPOS ESCALARES Y CAMPOS...