Matrices_y_Determinantes

MATRICES Y DETERMINANTES
 Conceptos básicos
 Determinantes
 Matriz inversa
CONCEPTOS BÁSICOS
MATRIZ A de m filas y n columnas:

a1n 
 a11 a12
a

a
a
21
22
2
n

A




amn 
 am1 am 2
i  1,2,..., m (filas)
Se representa por A   aij  
 j  1,2,..., n (columnas)
Dimensión de la matriz es el número m  n
1 2
Matriz cuadrada: m  n . 

3 4
 1 2 3

 4 5 6
Matriz fila: m 1 . 1 2 3
1
2
Matriz columna: n  1 .
 
3
 
Matriz rectangular. m  n 

t

Matriz traspuesta: Se cambian filas por columnas. A

 1 2 3
A
 ;
4
5
6



1 4
At   2 5 
 3 6



Las matrices cuadradas pueden ser

1 2 3
2 4 5
t
 Simétrica: aij  a ji . A  A


3 5 7


 0 1 2 

t 
 Antisimétrica: aij  a ji . A   A
 1 0 3 
 2 3 0 


Para comprobarque aii  0 , donde pone j poner i:
aii  aii  2aii  0  aii  0

1



Triangular superior: aij  0 si i  j . Ceros por debajo de la diagonal

1 2 0
0 2 1
principal.


 0 0 3


 Triangular inferior: aij  0 si i  j . Ceros por encima de la diagonal
 2 0 0
 0 1 0 
principal.


1 1 2


 Diagonal: aij  0 si i  j . Sólo elementos en la diagonal principal.
10 0 0 
D  0 20 0 
 0 0 30 


o Escalar Los elementos de la diagonal principal son iguales

3
E   0
0

1 0

o Unidad: aii  1 . I  0 1

0 0

0 0
o Nula: aij  0
0   0 0
0 0


0 0
3 0 
0 3 
0
0 
1 
0
0 
0 

Dos matrices con la misma dimensión son iguales si tienen los mismos
elementos.
La SUMA de matrices de la misma dimensión se hace sumando los elementoscorrespondientes que ocupan la misma posición. La suma de matrices tiene las
propiedades
 Asociativa A  ( B  C )  ( A  B)  C
 Conmutativa A  B  B  A
 Neutro: La matriz nula 0mxn . 0  A  A  0
 Matriz Opuesta A  ( A)  ( A)  A  0
Ejemplo:

 1 2 3  2 2 3  3 4 5 
 4 3 1   1 3 1  5 6 2

 
 


2

Producto de escalar   por matriz A : Se multiplican todos los elementos
dela matriz A por el escalar  y se expresa  A . Ejemplo:

1 2 3  3 6 9
3
  6 3 6
2
1
2

 

Esta operación tiene las propiedades conocidas
a) Distributiva respecto a la suma de matrices: k ( A  B)  kA  kB
b) Distributiva respecto a la suma de escalares: (h  k ) A  hA  kA
c) Asociativa del producto de escalares: (hk ) A  h(kA)
d) 1 :1A  A .
Con estas dos operaciones Suma dematrices: A  B y producto de escalar
  por matriz A :  A el conjunto de las matrices m  n tiene estructura de
espacio vectorial de dimensión m  n .
El PRODUCTO de matrices Amxn  Bnxp  Cmxp se efectúa multiplicando las filas
de la matriz A por las columnas de la matriz B, es decir cij  aik  bkj ; k  1..n
todos los elementos de cada fila por sus correspondientes de cada columna
obteniendootra matriz Cmxp . Naturalmente para que sea posible realizar este
producto es necesario que el número de columnas

n

de la matriz primera

Amxn coincida con el número de filas  n  de la matriz segunda Bnxp .
Ejemplo:

1 2
 1 2 3
  8 12 
 2 4 6   2 2   16 24 



 
2 x3
2x2
1 2
3x2

El producto de matrices tiene las propiedades
 Asociativa A  ( B  C )  ( A  B)  C
Distributiva respecto a la suma A  ( B  C )  A  B  A  C
 Matriz Unidad I  A  A  I  A
 No es, en general, conmutativo A  B  B  A
1
1
 Puede tener Inversa A  A  A  A  I
 ATENCIÓN
o A  B  0 no implica que alguna de ellas sea 0
o A  B  A  C no implica que B  C
2
2
2

 A  B   A  2 A  B  B
o En general 
2
2

 A  B  A  B   A  A  B  B  A  B

3

2
2

A  B    A  B   A  B
o En general 
2
2

 A  B    A  B   A  A  B  B  A  B

Propiedades de la matriz traspuesta:

A 

t t

 A ;  A  B   At  Bt ;   A   At ;
t

t

Potencia: A  A  A
n

 A  B

t

 Bt  At ; Dt  D

A; n

n

RANGO de una matriz es el número de filas o columnas linealmente
independientes se expresa rg ( A) .
Ejemplo Hallar el rango de la...