TEORIA_MATRICES_2010

MATRICES
1. CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz A definida sobre un cuerpo conmutativo K es una ordenación
rectangular de elementos aij  K en filas y columnas, en la que cada elemento aij
de la matriz A está situado en la fila i y en la columna j . Siendo i, j  dos
enteros positivos.
Si una matriz A posee m filas y n columnas se dice que es de dimensión m x n
(sin efectuar este producto) A  M m x n( K ) significa que A es una matriz que
pertenece al conjunto de las matrices de dimensión m x n cuyos elementos son
escalares del cuerpo K

(i, j )  aij  K
Se dice también que A es la aplicación: A :  m x  n  K , 
.
i   m , j   n

 a11 a12  a1 j  a1n 


 a21 a22  a2 j  a2 n 
 

A 
 ai1 ai 2  aij  ain 
 


 am1 am 2  amj  amn 
La matriz Ase expresa A  aij m x n

aij  K i  1...m

j  1...n

Matriz traspuesta de una dada A es la que se obtiene cambiando las filas por las
columnas. A  aij  m x n  At  a ji  n x m
Si todos los elementos de la matriz A son nulos: aij  0 la matriz es nula
Si m  1 A1 x n es una matriz fila (vector fila)
Si n  1 Am x 1 es una matriz columna (vector columna)
Si m  n la matriz esrectangular
Si m  n la matriz es cuadrada. La diagonal principal está formada por los
n

elementos aii . Traza es Tr ( A)   aii la suma de los elementos de la diagonal
i 1

principal.

1

2. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
Matriz Diagonal
aij  0 i  j

 a11 0
0 a
22
D
 

0
0

 0
 0

 

 ann 

Matriz Escalar
Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonalprincipal son
iguales.
Matriz Unidad
Es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son unos
 ij  1 si i  j

Delta de Kronecker
I n   ij  

 ij  0 si i  j
Matriz simétrica
aij  a ji es decir A  At
Matriz antisimétrica
aij  a ji es decir A   At
Se verifica que si j  i aii  aii ; 2aii  0  aii  0 . Todos los elementos de la
diagonal principal son nulos.Matriz triangular superior
Se verifica que aij  0 si i  j Estrictamente superior: aij  0 si i  j
Matriz triangular inferior
Se verifica que aij  0 si i  j Estrictamente inferior: aij  0 si i  j
Matriz banda
Son aquellas en las que los elementos no nulos (aunque alguno lo sea) se disponen a lo
largo de la diagonal principal así como en varias diagonales por encima y por debajo de
la diagonalprincipal.
Un caso particular es la Tridiagonal en la que los elementos no nulos van situados en la
diagonal principal y en las diagonales por encima y por debajo de la misma
1
2
A4  
0

0

2
1
1
0

2

0
2
2
1

0
0

1

1

3. IGUALDADAD DE MATRICES
Dadas las matrices A, B  M m x n ( K )

A  aij  B  bij 

Dos matrices de la misma dimensión son iguales si tienen los mismoselementos:
aij  bij
La igualdad de matrices es una relación de equivalencia
4. OPERACIONES
SUMA DE MATRICES
Dadas las matrices A, B, S  M m x n ( K )

A  aij  B  bij  S   sij 

todas las matrices A, B, S  M m x n ( K ) son de la misma dimensión mxn
S  A  B  sij  aij  bij La matriz suma se obtiene sumando los elementos análogos.







Es una ley de composición interna enM m x n ( K ) ya que al sumar dos matrices se
obtiene otra matriz de la misma dimensión.
Posee la propiedad asociativa A  ( B  C )  ( A  B)  C
Posee la propiedad conmutativa A  B  B  A
Posee elemento neutro 0: Matriz nula A  0mxn  0mxn  A  A
Posee elemento simétrico A  ( A)  0  ( A)  A

Conclusión: El conjunto

M

mxn

( K ),   es un Grupo Abeliano.

PRODUCTO POR ESCALARDados A  M m x n ( K )   K ;  A  M m x n ( K ) Es una ley de composición externa que
al operar una matriz por un escalar se obtiene otra matriz.  A    aij  multiplicando
todos los elementos de la matriz por el escalar.
 Distributiva respecto a la suma de matrices   ( A  B)    A    B
 Distributiva respecto a la suma de escalares (   )  A    A    A
 Asociativa...