Matrices y derivadas

INTRODUCCIÓN
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

El determinante de una matriz cuadradaes un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.



























MATRIZ
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos dispuestos en m líneas horizontales (filas) y nverticales (columnas) de la forma:



Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2,..., m, j =1, 2,..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y loselementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

PROPIEDADES DE MATRICES

➔ Suma de matrices
Dadas dos matrices del mismo orden A y B, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de A y B. Es decir el primer elemento de A con el primer elemento de B, el segundo de A con el segundo de B y así sucesivamente.


La matriz suma es del mismoorden que el de las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL CUALQUIERA

Si tenemos una matriz A y un número real cualquiera que llamaremos k, el producto de k. A es una matriz, del mismo orden que A, que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por k.




MATRIZ OPUESTA

Si multiplicamos una matrizA por (-1), se obtiene la matriz -A, que es la matriz opuesta a la dada.







RESTA DE MATRICES

La resta de dos matrices A y B, es decir (A - B), es igual a la suma de A más el opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B).


Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.








DETERMINANTESUn determinante de orden 3 es igual a la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la diagonal principal menos la suma algebraica de la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

➔ Si se intercambian las filas por las columnas de un determinante su valor no se altera


➔ Si se intercambian dos filas o dos columnas continuasen un determinante, el valor de éste cambia de signo


➔ Si todos los elementos de una fila o una columna de un determinante se multiplica por un mismo número k, el valor del determinante queda multiplicado por k

➔ Si todos los elementos de una fila o una columna son expresados como la suma de dos o más números, el determinante puede expresarse como la suma de dos o más determinantes➔ Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por un número k, y a este resultado se le suma a otra fila o columna, el valor del determinante no se altera. Esta propiedad es utilizada en el método del Pivote para calcular el valor de un determinante


MÉTODOS DE CRAMER PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
La regla de Cramer es un teorema del álgebralineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colín Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).1
La regla de Cramer es de...