Matrices

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES.

1. Matrices.
1.1 Definici´
on. Sea K un cuerpo y n, m ∈ N∗ . Una matriz n × m sobre K es una
aplicaci´
on:
A : {1, . . . , n} × {1, . . . , m} −→ K.

Si (i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m} denotaremos aij = A(i, j) y diremos que aij es el
elemento (i, j) de A.
Denotaremos por Mn×m (K) el conjunto de las matrices n × m sobre K.
Laforma de representar la matriz anterior es ordenando las im´agenes por A en una
caja que consta de n filas y m columnas de la siguiente forma:


a11
 a21
A=
 ...

an1


a1m
a2m 
.
.. 
. 

a12
a22
..
.

...
...
..
.

an2

. . . anm

As´ı, diremos que A tiene n filas y m columnas.
Para abreviar escribiremos A = (aij ) para referirnos a la matriz anterior.

1

Juan Medina Molina

UniversidadPolit´
ecnica de Cartagena

A los n vectores (a11 , a12 , . . . , a1m ), (a21 , a22 , . . . , a2m ), . . . , (an1 , an2 , . . . , anm ) ∈ K m

se les llama vectores fila de A y a los m vectores de K n (a11 , a21 , . . . , an1 ), (a12 , a22 , . . . , an2 ),
. . . , (a1m , a2m , . . . , anm ) se les llama vectores columna de A.
Una matriz real es una matriz con elementos en R y una matriz compleja esuna
matriz con elementos en C.
1.2 Definici´
on. Dada la matriz

a11 a12
 a21 a22
A=
..
 ...
.
an1

an2

...
...
..
.


a1m
a2m 
∈ Mn×m (K)
.. 
. 

. . . anm

se define la matriz traspuesta de A a:

a11 a21 . . .
a12 a22 . . .

AT = 
..
..
 ...
.
.
a1m a2m . . .
.
µ
¶
−1 2 3
1.3 Ejemplo. Si A =
∈
4 0 2


an1
an2 
∈ Mm×n (K)
.. 
. 

anm

M2×3 (R) entonces AT

M3×2 (R).


−1
Si B = 1
0

3
2
−1

 −1



4 2
 3
3 −5  ∈ M3×4 (R) entonces B T = 
4
1 1
2




−1 4
=  2 0 ∈
3 2

1
0 
2 −1 
 ∈ M4×3 (R).
3
1
−5 1

1.4 Definici´
on. Dada A ∈ Mn×m (K), diremos que A es cuadrada si n = m. Denotaremos por Mn (K) al conjunto Mn×n (K).
1.5 Definici´
on. Dada A = (aij ) ∈ Mn×m (K), a la r-tupla (a11 , a22 , . . . , arr ), donde
r = min{n, m}, se le llama diagonal principal deA.
1.6 Definici´
on. Dada A = (aij ) ∈ Mn×m (K) se define la matriz opuesta de A a
−A = (bij ) ∈ Mn×m (K) donde bij = −aij 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
2

Juan Medina Molina

Universidad Polit´
ecnica de Cartagena

1.7 Definici´
on. Se define la matriz 0n×m = (cij ) ∈ Mn×m (K) donde cij = 0,
1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
1.8 Definici´
on. Sea A = (aij ) ∈ Mn×m (K).
i) Diremos que A es una matriz fila si n = 1.ii) Diremos que A es una matriz columna si m = 1.
1.9 Definici´
on. Sea A = (aij ) ∈ Mn (K).
i) Diremos que A es diagonal si aij = 0 si i 6= j.
ii) Diremos que A es triangular superior si aij = 0 si i > j.
iii) Diremos que A es triangular inferior si aij = 0 si i < j.
iv) Diremos que A es sim´etrica si AT = A.
v) Diremos que A es antisim´etrica si AT = −A.
Notar que si una matriz cuadrada esantisim´etrica entonces la diagonal principal es
el vector nulo.
vii) Una matriz escalar es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales.
viii) Se define la matriz unidad de orden n y se denota In a la matriz escalar cuyos
elementos de la diagonal principal son 1.
1.10 Definici´
on.

Sea A = (aij ) ∈ Mn×m (K), i1 , i2 , . . . , ir ∈ {1, 2, . . . , n} y

j1 , j2 , . . ., js ∈ {1, 2 . . . , m} con i1 < i2 < . . . < ir y j1 < j2 < . . . < js . Entonces
la matriz que resulta de eliminar las filas distintas de i1 , i2 , . . . , ir y las columnas distintas de j1 , j2 , . . . , js o sea

a

i1 j1

 ai2 j1
 .
 .
.
air j1

ai1 j2
ai2 j2
..
.

...
...
..
.

air j2

...

se dice que es una submatriz de orden r × s de A.

3

ai1 js 
ai2 js 
.. 

.
air js

JuanMedina Molina

Universidad Polit´
ecnica de Cartagena




−1 3 4 5
1.11 Ejemplo. Sea A =  2
2 3 3  ∈ M3×4 (R). Las submatrices de
1 −1 1 −1
orden 2 × 2 de A son:
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
−1 3
−1 4
−1 5
3 4
3 5
4 5
,
,
,
,
,
,
2 2
2 3
2 3
2 3
2 3
3 3
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
−1 3
−1 4
−1 5
3 4
3
5
4 5
,
,
,
,
,
,
1 −1
1 1
1 −1
−1 1
−1 −1
1 −1
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
2 2
2 3
2 3
2 3
2
3
3 3
,
,
,...