Matrices

CÓDIGOS SECRETOS
Cifrado

Ejemplos:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un comerciante le dice a un empleado que le cambie en el banco 25 000 soles en 300 billetes
de S/. 100 y S/. 50.
Solución:
Denotando por: x el número de billetes de S/. 100 y
y el número de billetes de S/. 50
Este simple problema se traduce en resolver las 2 ecuaciones:

100 x  50 y  25 000

x  y  300

Sistema deecuaciones lineales con 2 incógnitas; x e y son las incógnitas y a1, a2, b1, b2, c1 y c2
son conocidos.

 a 1x  b1 y  c1

a 2 x  b 2 y  c 2

 a1

 a2

b1   x   c1 
    
b2   y   c2 

AX  C

DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y
columnas. Estos elementos están encerrados entre paréntesis o corchetes y
pueden ser números,funciones, inclusive matrices mismas.

 2 1/ 3
Ejemplo: A  
 1  
Columna 1

Notación:
 a 11

 a 21
A


a
 m1

5

0

Fila 1
Fila 2

Columna 3
Columna 2

a 12
a 22

a m2

a 1n 

 a 2n 

 

 a mn 



Se simboliza

A=(aij)mxn

aij es un elemento de la matriz donde:
i indica la fila
j indica la columna

Ejemplos:

1
A  
5

3

 1

1
 
B  0
0
 

C   1 /2

9

8

El orden de A es 2x2, el de B es 3x1 y el orden de C es 1x3

Matrices especiales
Matriz fila: es toda matriz de
orden 1xn , una fila y “n”
columnas.

Matriz columna: es toda
matriz de orden mx1,una
columna y “m” filas

A   a11

a12

 a11 


a
21

A




a
 m1  m x1

a1n 1x n



Matriz cuadrada: es aquella que tiene el mismo número de filas y
de columnas son iguales.

 a11

a
A   21


a
 n1

a 12
a 22

a n2

a 1n 

 a 2n 

 

 a nn 



Ejemplos:

 0.5
A  
 5
1

B  x
0


Diagonal Principal

Matriz Nula: Es la matriz cuyos elementos son todos ceros.

Ejemplo:

0

A  0
0


0
0
0

0

0
0 

a
2
9

4 

 3
n 

7 / 8
 4 

Matriz identidad: Se indica I a toda matriz cuadrada en donde todos los elementos
de ladiagonal principal son igual a 1 y el resto de los elementos son iguales a 0.

1

I3   0
0


0
1
0

0

0
1 

Diagonal Principal

Matriz Triangular:

1. Superior:

5

A  0
0


2. Inferior:

1
6
0

1

7
1 

5

A  2
5


0
6
1

0

0
2 

Matriz Diagonal: Una matriz es diagonal si es triangular inferior y superior a la vez,
es decir, si todos sus elementos son nulos exceptolos de la diagonal.

Ejemplos:

5

A  0
0


0
6
0

0

0
1 

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la
diagonal principal son iguales.

Ejemplos:

5

A  0
0


0
5
0

0

0
5 

Matriz Transpuesta: Dada una matriz A de orden mxn. Se llama matriz transpuesta
a la matriz de orden nxm cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por
T
lascolumnas. Se denota por A .

Ejemplos:

 5

A 1
 5


Si

0

3 ,
7 

entonces

5
A 
0
T

1
3

Propiedades:

 AT   A

 A  B

  A

 AB 

T

T

  AT

T

T

 AT  BT

 BT AT

5 

7 

Si:
 3  6 2 
A   2
4  1
 2
3
0 

la transpuesta es
 3
At   6
 2

I

2
4 3 
1 0 
2

Matriz Simétrica: Es aquella matriz cuadrada que es igual a su transpuesta,es
decir, dada la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), se tiene que

𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ,

∀𝑖, 𝑗

𝐴 = 𝐴𝑡 ,

Ejemplo:
5 −2
−2 3
1
6

1
6
−4

Matriz Antisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que es igual al opuesto de su

transpuesta, es decir, dada la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), se tiene que

𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗

𝐴 = −𝐴𝑡 , 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑖 = 0 ∀𝑖
Ejemplo:
0 7
7 0
−2 6

−2
6
0

Matriz Ortogonal: Es aquella matriz cuadrada que multiplicadacon su transpuesta
resulta la identidad, es decir, 𝐴 ∙ 𝐴𝑡 = 𝐼 .

Ejemplo:

1 3 1 2

A  1 3
0

1 3  1 2

1 6 

2 6

1 6 

1) Hallar el valor de a, b y c si la matriz dada es simétrica.
5
𝑎
𝐴= 𝑏−3 3
𝑐 − 5 −2

2𝑏 − 4
𝑐+7
−4

2) Hallar el valor de 𝑥, 𝑦 , 𝑧 𝑦 𝑤si la matriz dada es antisimétrica.
𝑧
𝐴= 𝑦+4
5𝑤 − 1

𝑥 − 3 4 − 3𝑦
0
𝑧+𝑤
−2
0

MATRICES IGUALES
Matrices “A” y “B” son iguales...