matriz

Matriz del cambio de bases
Dadas bases 1 y 2 de un espacio vectorial V de dimensión n, discutimos en esta clase cómo encontrar una matriz cuadrada Anxn que al multiplicar la columna n x1 de las coordenadas de un vector v  V respecto de la base 1, devuelve las coordenadas del mismo vector v respecto de la base 2. El razonamiento es sencillo.
Considere la t.l. Id: V  V, sumatriz respecto de las bases 1 y 2: (Id), satisface:
 v  V (Id)(v)= (v), de donde la matriz del cambio de bases de 1 a 2 es la matriz cuadrada n x n: (Id). La matriz del cambio debases de 1 a 2 se denota por C.
Para determinar la matriz del cambio de bases de la base 1 = {u1, ... , un} a la base
2 = {v1, ... , vn}, se debe recordar que las columnas de C = (Id)son:

[Id(u1)]= (u1) = , en donde u1 = a11v1 + ... + an1vn



[Id(un)] = (un) = , en donde un = a1nv1 + ... + annvn.

y C =

En caso de que 1 y 2sean dos bases de IRn, con:

u1 = , ... , un = y v1 = , ... , vn = , para encontrar las entradas aij

de la matriz del cambio de bases C = de 1 a 2 las identidades a

resolver:u1 = a11v1 + ... + an1vn, ... , un = a1nv1 + ... + annvn, se traducen en:

a11+ ... + an1 = , ..., a1n+ ... + ann = y esto en los

sistemas con idénticos coeficientes:

= , ... , = , loscuales se resuelven

simultáneamente reduciendo la matriz súperaumentada:

... y C= .

Ejemplos:

i) Sean C, la base canónica de IR3, y  = {(1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, -1)} unasegunda base de IR3. Para determinar C la matriz súperaumentada ya está

reducida: y C= .
Por ejemplo, si las coordenadas de un vector v respecto de la base  son(v)= , lo cual quiere decir que v es igual a

v = 1+ 2+(-1) = , entonces las coordenadas del mismo vector

respecto de la base canónica C son , las...