matriz




Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Propiedades
Interna:
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A
Elemento opuesto:A + (−A) = OConmutativa: A + B = B + A
Producto de un número real por una matriz
Dada una matriz A=(aij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)
Propiedades
a ·  (b · A) = (a · b) · A A  Mmxn, a, b 
a  ·  (A+B) = a · A + a · B A,B  Mmxn , a  
(a+b) · A = a · A+b · A A  Mmxn , a, b  1 · A = A A  Mmxn
Producto de matrices
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Propiedades
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro:

A · I = A
No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
Matriz inversa
A · A−1  = A−1 · A = I
Propiedades
(A · B)−1  = B−1 · A−1
(A−1 ) −1  = A
(k · A)−1  = k−1 · A−1
(A t) −1  = (A −1) t



9. RANGO DE UNA MATRIZ

1º En R2 dos vectores u = (a , b) y v = (c , d) son linealmente independientescuando no son proporcionales, es decir, no existe ningún número real β que verifique: u = β . v.
Ejemplo: u = (3 , 5) y v = (9 , 6) son linealmente independientes puesto que no son proporcionales.
2º En R2 dos vectores u = (a , b) y v = (c , d) son linealmente dependientes cuando son proporcionales, es decir, existe un número real β que verifica: u = β . v.
Ejemplo: u = (3 ,5) y v = (9 , 15) son linealmente dependientes puesto que son proporcionales: v = 3 . u
3º En R3 tres vectores u = (a , b, c), v = (r , s , t) y w = (x , y , z) son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, no existen números reales δ y β que verifiquen: u = δ . v + β . w.
Ejemplo: u = (1 , 2 ,3), v = (3 , 5 , 7) y w = (4 , 6 , 5) son linealmente independientes puesto que no existen números reales δ y β que verifiquen: u = δ . v + β . w. Si existieran tales números se cumpliría:
(1 , 2 , 3) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5), es decir, (1 , 2 , 3) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo:
1 = 3δ + 4β; 2 = 5δ + 6β; 3 = 7δ + 5β; pero este sistema detres ecuaciones con dos incógnitas es incompatible, es decir, no tiene solución, lo que es equivalente a decir que no existe los números δ y β que verifiquen esa igualdad
4º En R3 tres vectores u = (a , b, c), v = (r , s , t) y w = (x , y , z) son linealmente dependientes cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, existen númerosreales δ y β que verifican: u = δ . v + β . w.
Ejemplo: u = (18 , 28 , 29), v = (3 , 5 , 7) y w = (4 , 6 , 5) son linealmente dependientes puesto que existen números reales δ y β que verifican: u = δ . v + β . w.
(18 , 28 , 29) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5), es decir, (18 , 28 , 29) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo:
18 = 3δ + 4β; 28 = 5δ + 6β;29 = 7δ + 5β; Resolviendo este sistema se obtiene: δ = 2 y β = 3. Por lo tanto:
(18 , 28 , 29) = 2 . (3 , 5 , 7) + 3 . (4 , 6 , 5)

5º En general, un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes y es linealmente dependiente cuando sucede lo contrario, es decir, cuando alguno de ellos se puede...