matriz

N´cleo e Imagen de una Transformaci´n Lineal
u
o
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
a
28 de junio de 2011

´
Indice
17.1. N´cleo de una transformaci´n lineal . . . . .
u
o
17.2. El n´cleo de una matriz y la tecnolog´ . . .
u
ıa
17.3. Inyectividad de transformaciones lineales . . .
17.4. El Rango de una transformaci´n . . . . . . .
o
17.5. Suprayectividad de transformacioneslineales
17.6. N´cleo e Imagen son subespacios . . . . . . .
u
17.7. Nulidad y Rango de una Transformaci´n . . .
o
17.8. SEL a trav´s del kernel y el rango . . . . . .
e
17.9. Ejemplo clave . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.1.

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1
6
6
7
10
11
12
14
14

N´ cleo de una transformaci´n lineal
u
o

Definici´n 17.1
o
Sea T : V → W una transformaci´n lineal. Eln´cleo T es el subconjunto formado por todos los
o
u
vectores en V que se mapean a cero en W .
Ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0 ∈ W }

Ejemplo 17.1
Indique cu´les opciones contienen un vector en el n´cleo de la transformaci´n de R3 en R3 definida como
a
u
o
  

x
−2 x + 3 z
T  y  =  −23 x − 15 y − 18 z 
z
−5 x − 3 y − 3 z
dentro de las opciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

v1v2
v3
v4
v5
v6

= (0, 0, 0)
= (12, −28, 8)
= (1, −2, 1)
= (3, −7, 2)
= (2, −4, −4)
= (9, −18, −15)

Soluci´n
o
Antes de pasar a la verificaci´n, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que
o
T (x) = A · x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x.

Empecemos con la dimensi´n de A: como A semultiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el n´mero
o
u
de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3 , entonces el n´mero de
u
renglones de A es 3. Si requerimos que

 
 
−2 x + 3 z
x
 −23 x − 15 y − 18 z  = 
 y 
z
−5 x − 3 y − 3 z
No es dif´ ver
ıcil

 
 
0
3
−2
x
−2 x + 3 z
 −23 x − 15 y − 18 z  =  −23 −15 −18  y 
z
−5 x − 3 y − 3 z
−5 −3 −3


es decir que



−2
0
3
A =  −23 −15 −18 
−5 −3 −3
El vector v1 est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

    
−2
0
3
0
0
T (v1 ) = Av1 =  −23 −15 −18  ·  0  =  0  = 0
−5 −3 −3
0
0
El vector v2 est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
  
−2
0
3
12
0
T (v2 ) = Av2 =  −23 −15 −18  ·  −28  =  0  =0
−5 −3 −3
8
0
El vector v3 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
 

−2
0
3
1
1
T (v3 ) = Av3 =  −23 −15 −18  ·  −2  =  −11  = 0
−5 −3 −3
1
−2
El vector v4 est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
  
−2
0
3
3
0
T (v4 ) = Av4 =  −23 −15 −18  ·  −7  =  0  = 0
−5 −3 −3
2
0
El vector v5 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u
 
 

−2
0
3
2
−16
T (v5 ) = Av5 =  −23 −15 −18  ·  −4  =  86  = 0
−5 −3 −3
−4
14
El vector v6 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
 

−2
0
3
9
−63
T (v6 ) = Av6 =  −23 −15 −18  ·  −18  =  −333  = 0
−5 −3 −3
−15
−54

2

Ejemplo 17.2
Determine el n´cleo de la transformaci´n de R3 en R3 definida como
u
o
  

x
−2 x + 3 z...