Maximos y minimos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Con un cartoncillo de forma cuadrada de 12 cm de largo se quiere construir una caja abierta recortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando haciaarriba, tal como se indica en la figura siguiente.

12 cm 12 cm 12 cm 12 cm

X

X

X

X

X

12 – 2X

12 – 2X

Vol = largo * ancho * alto V = (12 – 2X) * (12– 2X) * X

V = (12 – 2X) * (12 – 2X) * X V = (12 – 2X) * (12X – 2X2) V = 144X – 24X2 – 24X2 + 4X3 V = 4X3 – 48X2 + 144X

1. Determinar la primera derivada: V’ = 12X2 –96X + 144

V’ = 12X2 – 96X + 144 2. Obtención de los puntos críticos a partir de la primera derivada. Como la derivada es una función cuadrática se requiere utilizar laformula general.
12 TIP: Simplificar la derivada dividiendo sus términos entre 12 − 96 + 144 12

X2 – 8X + 12 a=1 b = -8 c = 12

X2 – 8X + 12 a=1 b = -8 c = 12 Una vezresuelta la formula general se obtienes 2 valores de X: X1 = 2 X2 = 6

3. Se obtiene la segunda derivada V’’ = 24x – 96 4. Se sustituyen los valores de los puntos críticos en lasegunda derivada: V’’(2) = 24 (2) – 96 48 – 96 -48 → → V’’(6) = 24 (6) – 96 144 – 96 48 → →
Si el signo es positivo hay un mínimo

Si el signo es negativo hay un máximo5. Encontrar los valores de Y. Sustituir los valores de X en la función original V(2) = 4(2)3 – 48(2)2 + 144(2) 32 – 192 + 288 128 V(6) = 4(6)3 – 48(6)2 + 144(6) 864 – 1728 +864 0
PUNTOS Máximo (2, 128) Mínimo (6, 0)

128 cm3 de capacidad 2 cm

En el punto máximo cada X debe medir 2 cm para que la caja tenga un volumen máximo de 128 cm3

2cm

En el punto mínimo cada X debe medir 6 cm de tal manera que la caja tendrá un volumen de 0 cm3 no se podría guardar algo

0 cm3 de capacidad

6 cm

6 cm