maximos y minimos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
Ejemplo 1: y=2x^3-3x^2-12x+2
Hallar los puntos críticos
Encontrar la primera derivada
y^'=6x^2-6x-12
Igualar la primera derivada a cero y encontrar los valores críticos
6x^2-6x-12=0
Los valores críticos se pueden encontrar de dos formas: factorizando o con la formula general (x=(-b±√(b^2-4ac))/2a)
En este caso dividiremos entre 6 para simplificar laecuación, y nos queda
x^2-x-2=0
Factorizando
(x-2)(x+1)=0
De donde tomamos
(x-2)=0 y obtenemos la primera raíz o valor crítico.
x-2=0
x_1=2
Ahora con
(x+1)=0 y obtenemos la segunda raíz o valor crítico.
x+1=0
x_2=-1
Lo que nos indican estos valores, es que en estos puntos puede existir un máximo o un mínimo.
Para determinar si existe un máximo o un mínimo en cada uno de los puntoscríticos:
Tomar un valor un poco menor que el valor crítico y luego uno un poco mayor que él y sustituir en la primer derivada.
Si el signo pasa de menos a más entonces f tiene un mínimo relativo en ese punto crítico, si el signo pasa de más a menos, entonces ftiene un máximo relativo en ese punto crítico.
Si no hay cambio de signo, no hay máximo ni mínimo.
Continuando con el ejemplo:
Tomamosx_1=2
Buscando un valor menor tenemos
x=1
Sustituyendo este valor en la primera derivada y realizando las operaciones aritméticas tenemos:
6〖(1)〗^2-6(1)-12=
6*1-6*1-12=
6-6-12=-12

Buscando un valor mayor tenemos
x=3
Sustituyendo este valor en la primera derivada y realizando las operaciones aritméticas tenemos:
6〖(3)〗^2-6(3)-12=
6*9-6*3-12=
54-18-12=+24
Se observa que el signo cambiade menos a más, por lo tanto existe un mínimo.

Ahora tomamos el siguiente valor
x_2=-1
Buscando un valor menor tenemos
x=-2
Sustituyendo este valor en la primera derivada y realizando las operaciones aritméticas tenemos:
6〖(-2)〗^2-6(-2)-12=
6*4-6*-2-12=
24+12-12=+12

Buscando un valor mayor tenemos
x=0
Sustituyendo este valor en la primera derivada y realizando las operacionesaritméticas tenemos:
6〖(0)〗^2-6(0)-12=
6*0-6*0-12=
0-0-12=-24
Se observa que el signo cambia de más a menos, por lo tanto existe un máximo.

Para determinar las coordenas donde existen máximos y mínimos, se sustituye cada valor crítico (raíces) en la función original para hallar el punto donde puede haber un máximo y/o mínimo.
x_1=2 y x_2=-1
Sustituyendo x_1=2 en la ecuación originaly=2〖(2)〗^3-3(2)^2-12(2)+2
y=2(8)-3(4)-12(2)+2
y=16-12-24+2=-18
En el punto (2,-18), hay un mínimo.

Sustituyendo x_2=-1 en la ecuación original
y=2〖(-1)〗^3-3(-1)^2-12(-1)+2
y=2(-1)-3(1)-12(-1)+2
y=-2-3+12+2=+9
En el punto (-1,9), hay un máximo.
Punto máximo (-1,9), punto mínimo(2,-18)
Veámoslo gráficamente
Recuerda que para graficar hay que tabular, es decir, darle valores a x ysustituirlos en la ecuación original para obtener el valor de y.
En este caso nos queda:

x y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 -263
-126
-43
-2
9
2
-11
-18
-7
34
117


Veamos otro ejemplo
Ejemplo 2: y=3x^2+2
Obtener primera derivada y'=6x
Igualar a cero la primera derivada y despejar para x para obtener punto critico
6x=0
x=0/6=0 Punto critico

Tomar un valormenor y uno mayor a x para determinar si hay un máximo o un mínimo y sustituirlo en la primera derivada.
Valor menor x=-1

6(-1)=-6


Valor mayor x=1

6(1)=6
Se observa que pasa de menos a más, por lo tanto hay un mínimo para x=0
Sustituir el valor de x=0 en la ecuación original para encontrar el valor de y.
y=3〖(0)〗^2+2=2

La coordenada del punto mínimo es (0,2)
Veámoslo gráficamentex y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 77
50
29
14
5
2
5
14
29
50
77

Veamos otro ejemplo
Ejemplo 3: y=-5x^2
Obtener primera derivada y^'=-10x
Igualar a cero la primera derivada y despejar para x para obtener punto critico
-10x=0
x=0/(-10)=0 Punto critico

Tomar un valor menor y uno mayor a x para determinar si hay un máximo o un mínimo y sustituirlo en la...