Mayematicas

UniÛn de Conjuntos Los conjuntos A = fa; b; c; d; eg y B = fa; e; i; o; ug
se combinan para formar un nuevo conjunto, donde ning˙n elemento puede
estar repetido fa; b; c; d; e; i; o; ug, a este conjunto lo llamaremos uniÛn de A
y B.
M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces
M [ J = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g
SimbÛlicamente la uniÛn de A y B es:
AUB = fx : x 2 A _ x 2 Bg
IntersecciÛnde Conjuntos En esta operaciÛn de conjuntos se trata de
encontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos,
veamos:
M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces
La intersecciÛn la representamos por:
M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten.
SimbÛlicamente la intercepciÛn de A y B es:
A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg
Diferencia de Conjuntos En los conjuntos V =fa; e; i; o; ug y A =
fa; e; og
La diferencia de V A es el conjunto formado por los elementos de V
que no est·n en A asÌ:
V A = fi; og
M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces
La diferencia la representamos por:
M J = f2; 4g pues son los que est·n en M y no en J.
TambiÈn se puede calcular J M
J M = f7; 9g pues son los que est·n en J y no en M.
SimbÛlicamente es:
M J = fx: x 2 M ^ x =2 Jg
J M = fx : x 2 J ^ x =2 Mg
Complemento Para esta operaciÛn debemos deÖnir primero un conjunto
que nos sirva como base o referencia, lo simbolizar·n con la letra U, se llamar·
universal o referencial.
Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3g
Llamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los elementos de U que no est·n en A, o seaf4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lo
denotaremos con A0
Notese que A0 = U A
U = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g
Si B = f1; 11; 29g entonces B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23g
Si C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces C0 = f1; 11; 13; 19; 29g
Si D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces D0 =
SimbÛlicamente es:
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A0 = fx : x 2 U ^ x =2 AgComplemento, uni´on e intersecci´on
En esta secci´on definimos las operaciones de complemento, uni´on e intersecci´on y estudiamos sus principales propiedades, que constituyen el ´algebra
de conjuntos. Tambi´en mencionamos las operaciones de diferencia y diferencia
sim´etrica que enseguida escribimos en funci´on de las otras.
La operaci´on de uni´on de conjuntos no es m´as que el axioma de launi´on ya
enunciado y la definici´on que le sigue. Sin embargo lo volveremos a enunciar en
el caso particular de dos conjuntos, que es la forma m´as habitual de manejarla.
De hecho, el axioma de la uni´on es el que permite establecer los resultados
algebraicos que aparecen en esta secci´on. Si tenemos dos conjuntos A y B, dicho
axioma nos permite hablar de un conjunto E que contiene todos loselementos
de A y todos los elementos de B. Utilizaremos el conjunto E para escribir
la definici´on de las operaciones y deducir sus propiedades. Al definir las tres
operaciones en el marco de un conjunto E ocurre que son una traducci´on directa
de las operaciones entre proposiciones l´ogicas: el complemento corresponde a la
negaci´on, la uni´on a la disyunci´on y la intersecci´on a laconjunci´on.
Hay una representaci´on gr´afica de los conjuntos que es particularmente apropiada para visualizar las operaciones entre conjuntos: los diagramas de Venn.
Un diagrama de Venn representa al conjunto E por un rect´angulo, y cualquier
subconjunto del mismo por una curva cerrada dentro del rect´angulo. Si es posible, los elementos del conjunto E se marcan como puntos dentro del rect´angulo
y lacurva que representa a un subconjunto encierra sus elementos.
2.14 Ejemplo. Los conjuntos E = {a, b, c, d} y A = {a, b} ⊂ E se representan
en la figura 2.1.
Figura 2.1: Ejemplo de representaci´on gr´afica con diagramas de Venn
Debe quedar claro que los diagramas de Venn no sirven como demostraciones
de teoremas. S´olo son ilustraciones de los mismos.
Las primera operaci´on que abordamos es...