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11

0. Generalidades

CAP
ITULO 0: GENERALIDADES
1 Noci
on de matriz polinomial
Consideremos una matriz L cuadrada de orden n cuyos coe cientes son polinomios
en la variable  y a coe cientes complejos:

0 p  : : : p  1
11
1n
B
.
.. C
L = @ ..
. A 2 MnnC  
pn1  : : : pnn

Esto es, pij  2 C  , y para todo 0 2 C , L0  2 MnnC.

De nici
on 1:
La matriz L sedenomina matriz polinomial o  -matriz.

Ejemplo 1:
N
otese que

L =

 3 +  + 2

2+
, + 22 3



`
X
`
`
,
1
L = A`  + A`,1  + : : : + A1 + A0 = Ai i
i=0

donde ` es el grado del polinomio pij  de L de mayor grado.

Es decir, L es un polinomio de grado ` cuyos coe cientes son matrices cuadradas
a coe cientes complejos.

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedanrigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones
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12

Introducci
on a la teor
a de matrices polinomiales

Ejemplo 2:
a Considerando L de nida en el ejemplo 1,
1 0
 1 1
3 2
2
L =  2 0 +  ,1 0 + 0 3
b Sea A 2 MnnC. La matriz L = A , I es una matriz polinomial.
c Toda matriz A 2 Mnn C puede ser vista como caso particular de matriz polinomial de grado cero.De nici
on 2:
Diremos que una matriz polinomial L es m
onica si y s
olo si A` = In .

Ejemplo 3:
a La matriz polinomial

1 0

1





1
3 2
0 1 +  ,1 0 + 0 3
es m
onica; no as
la matriz polinomial considerada en el ejemplo 2 a.

L = 2

b I , A es una matriz polinomial m
onica; no as
A , I .

De nici
on 3:
Dada una matriz polinomial L, diremos que es regular si det Lno es id
enticamente
nulo.
N
otese que si L no es regular los coe cientes del polinomio det L son todos
id
enticamente nulos.

Ejemplo 4:
La matriz polinomial A , I es siempre regular el polinomio caracter
stico de una
matriz tiene grado n .

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

13

0. Generalidades

2 Operaciones con matrices polinomiales
Matrices polinomiales del mismo ordenpueden ser sumadas y multiplicadas con las
operaciones habituales de suma y producto de matrices; y en cada caso se obtiene otra
matriz polinomial.

Ejemplo 1:
Sean L1 =

 2 +  , 2
2 + 22







1 ,  , L = 1  . Entonces su suma es:
2
,
2 ,



2
L1 + L2  = 32+ + ,32 ,12

y su producto es:





3
2
3
L1
L2 = 22++ 2,2 , 3  3+22+ 2,3



Proposici
on 1:
Elconjunto de matrices polinomiales del mismo orden, con las operaciones de suma y
producto, tiene estructura de anillo.

De nici
on 1:
Diremos que una matriz polinomial L1  es inversible si existe una matriz polinomial
L2  del mismo orden que L1  tal que

L1 
L2  = L2 
L1  = I
La matriz polinomial L2  la llamaremos matriz polinomial inversa de L1  y escribiremos
L2 = L1 ,1

Proposici
on 2:
Una matriz polinomial L es inversible si y s
olo si

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

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Introducci
on a la teor
a de matrices polinomiales

det L = a 2 C; a 6= 0

Demostraci
on:
Se deja, como ejercicio, para el lector.

De nici
on 2:
Una matriz polinomial L se dice que es unimodular si
det L = a 2 C; a 6= 0
Despu
es de esta de nici
on, laproposici
on anterior puede enunciarse de la siguiente
manera:

Proposici
on 3:
Una matriz polinomial L es inversible si y s
olo si es unimodular.

3 Equivalencia y forma normal de Smith
3.1 Equivalencia de matrices polinomiales
De nici
on 1:
Dadas dos matrices polinomiales del mismo orden, L1  y L2 , diremos que son
equivalentes, y lo notaremos por L1   L2 , si y s
olo si existen...