Metodo de euler

MÉTODO DE EULER
La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva soluciónde la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.
[pic]
Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto detangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto [pic] como una aproximación al valor deseado  [pic]. 
[pic]
Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva soluciónde la ecuación diferencial  dada   en el punto  [pic]. De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: 
                                                [pic] 
donde m  es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
[pic] 
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es : 
[pic] 
Ahora bien, suponemosque  [pic]  es un punto cercano a  [pic], y por lo tanto estará dado como  [pic]. De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:
[pic]
De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: 
[pic] Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de  h es más grande, entonces podemos cometer mucho error alaplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia  [pic] en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitudsuficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n  pasos, aplicando la fórmula anterior  n  veces de un paso a otro, con la nueva  h  igual  a  [pic].
En una gráfica, tenemos losiguiente: 
[pic]
Ahora bien, sabemos que: 
[pic][pic] 
Para obtener  [pic]  únicamente hay que pensar que ahora el papel de  [pic] lo toma el punto [pic], y por lo tanto, si sustituímos los datos...