METODO DE KRYLOV

Polinomios, valores y vectores caracter´ısticos:
M´etodo de Krilov
Ing. Jes´
us Javier Cort´es Rosas
M. en A. Miguel Eduardo Gonz´alez C´ardenas
M. en A. V´ıctor D. Pinilla Mor´an *
2011

Resumen
Introducci´
on. Definici´
on del m´etodo de Krilov. Ejemplo de aplicaci´on. Conclusiones.

1.

Introducci´
on

El objetivo de este trabajo es presentar la aportaci´on del An´alisis num´erico a laobtenci´on del polinomio (o ecuaci´
on), valores y vectores car´
acter´ısticos; se presentar´a un m´etodo que pueda desarrollarse
como algoritmo y, en consecuencia, desarrollado por medio de un programa de c´omputo.
En este sentido, para reconocer los contenidos es necesario disponer de los antecedentes necesarios
del ´algebra lineal en cuanto a los t´
opicos antes mencionados.
Las matrices de orden nxnno singulares poseen un polinomio caracter´ıstico; las ra´ıces de este
polinomio son llamados valores caracter´ısticos y cada uno tiene asociado un vector caracter´ıstico.
Iniciando con la determinaci´
on del polinomio caracter´ıstico. El polinomio caracter´ıstico de la matriz
A se obtiene por medio de la expresi´
on:
|A − λI| = 0

(1)

El resultado de este determinante es un polinomio en funci´onde λ de grado igual al orden de la matriz
A, en este caso, de orden n. Este polinomio caracter´ıstico posee n ra´ıces, o valores caracter´ısticos;
por lo cual, la matriz A de orden n posee n valores caracter´ısticos.
El polinomio caracter´ıstico es de la forma:
a0 λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + ... + an−1 λ + an = 0
*

(2)

Facultad de Ingenier´ıa, UNAM. Profesores de tiempo completo del Departamento deMatem´
aticas Aplicadas de
la Divisi´
on de Ciencias B´
asicas

1

An´alisis num´erico

2.

2

Definici´
on del M´
etodo de Krilov

Este m´etodo se fundamenta en la aplicaci´on del Teorema de Cayley-Hamilton [1], mismo que establece que toda matriz A verifica su ecuaci´on caracter´ıstica:
F (A) = 0

(3)

Es decir, si sustituimos a la matriz A en el polinomio 2, el resultado deber´a ser cero. Sinembargo,
operativamente es necesario hacer algunos comentarios. De inicio, la matriz A es de orden n, por
lo cual la sustituci´
on arrojar´
a un sistema de n ecuaciones lineales; en consecuencia, el coeficiente
a0 deber´a ser diferente de cero. Resulta conveniente hacer que este coeficiente sea la unidad, por lo
cual se divide el polinomio entero por a0 , resultando:
λn + b1 λn−1 + b2 λn−2 + ...+ bn−1 λ + bn = 0

(4)

Donde los coeficientes bi se obtienen como bi = aa0i . Aplicando el teorema de Cayley-Hamilton en el
polinomio 4:
F (A) = An + b1 An−1 + b2 An−2 + ... + bn−1 A + bn I = 0
(5)
El polinomio 5 representa un sistema de ecuaciones lineales cuyas inc´ognitas son los coeficientes bi .
La soluci´on de este sistema nos proporciona los coeficientes bi que sustituidos en el polinomio4 nos
proporciona el polinomio caracter´ıstico de A.
Una forma sencilla de realizar este procedimiento es simplificar la elevaci´on de la matriz A a las
potencias necesarias. Esto se logra multiplicando la matriz A por un vector y¯ compatible diferente
de cero. Debe recordarse que la multiplicaci´on de una matriz por un vector compatibles arroja un
vector.
Este vector y¯ puede ser librementeelegido, proponi´endose que su conformaci´on permita realizar de
mejor forma las operaciones. Una buena elecci´on es elegir al vector con la forma:
 
1
 0 
 
 
y¯ =  0 
 .. 
 . 
0
Ubicando al elemento 1 en una posici´
on estrat´egica de acuerdo con los coeficientes de A de tal forma
que se minimicen las operaciones.
Atendiendo a la anterior recomendaci´
on, el sistema que de la forma:
Any¯ + b1 An−1 y¯ + b2 An−2 y¯ + ... + bn−1 A¯
y + bn y¯I = 0

(6)

Finalmente, el sistema de ecuaciones puede ser resuelto por el m´etodo de preferencia [2].

3.

Ejemplo de aplicaci´
on

Sea la matriz:




1 −1
0
0
1 
A= 2
−2
3 −1

(7)

An´alisis num´erico

3

El polinomio caracter´ıstico tendr´
a la forma (de acuerdo a la ecuaci´on 4):
λ3 + b1 λ2 + b2 λ + b3 = 0

(8)

El sistema de...