Metodo De Lu

Método de descomposición de LU
ANÁLISIS NUMÉRICO

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Introducción
Su nombre de deriva de las palabras p inglesas “Lower” y “Upper” stu a o e p oceso s gue en a Estudiando el proceso que se sigue e la descomposición LU es posible entender el p qué por q de este nombre, analizando cómo , es que una matriz original se descompone g , p en dos matrices triangulares, una superior y otrainferior.
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Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de descomposición de LU
También conocido como método de Cholesky. André-Louis André Louis Cholesky (15 de octubre de 1875 31 de agosto de 1918) fue un matemático francés nacido en Montullo, Francia. Estudió en la École polytechnique y trabajó en geodesia y cart rafía l techni e e desia cartografía además dedesarrollar la descomposición matricial que lleva su nombre para ayudarle en su trabajo. Sirvió Si ió en el ejército f l jé i francés como oficial d é fi i l de ingeniería y murió en una batalla a pocos meses del final de la Primera Guerra Mundial, siendo su trabajo publicado póstumamente.
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Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de descomposición de LU
Es unamodificación del método de eliminación y es muy usado para resolver sistemas de ecuaciones p por medio de la computadora por la facilidad que p p q tiene en el poco uso de memoria. Consiste C nsiste basicamente en la desc m sición de la descomposición matriz de coeficientes “a” en dos matrices “l” y “u” en donde “l” es una matriz triangular inferior y “u” “ ” es una matriz triangular superior y esta úl i i il i última tiene la característica de que solo contiene unos en su diagonal principal
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Obtención de la matriz A = L U
La modificación del método de eliminación Gaussiana, deriva en el método de descomposición de LU, en el cual la matriz de coeficientes A se descompone en el producto de dos matrices: una llamada L y otra llamada U. ll d ll d U Donde L es una matriz triangular inferior yU es una matriz triangular superior na matri trian lar s eri r
a11 a  21 a31   an1  a12 a13 a1n  a22 a23 a2n   a32 a33 a3n       an2 an3 ann  
l11 l  21 l31    ln1 0 0    0   l22 0  0   l32 l33  0       ln2 ln3 nn  l 
u 12  u 1n  u 11 0 u 22 u 23  u 2 n  0 0  u 3n u 33       0 0   u nn 0 
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=

         5

Pasos para obtener la matriz L U
Existen varias formas para obtener las p matrices L y U, una es la conocida como el método Doolitle de quien no se sabe q mucho, que considera que la diagonal de la matriz L será de elementos iguales a uno. g Una variante del método de Doolitle es el q p método de Crout que en la época de los 60’s, parte de considerar a la matriz U con g p p una diagonalprincipal de unos.
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Pasos para obtener la matriz L U p
De acuerdo a la versión de Crout se plantea la descomposición de A
a11 a  21 a31   an1  a12 a13 a1n  a22 a23 a2n   a32 a33 a3n  =      an2 an3 ann  
l11 l  21 l31   ln1  0 0    0 l22 0  0     l32 l33  0       ln2 ln3 nn  l 
 u 12 u 1n 1 0 1 u 23  u 2 n  0  u 3n 0 1      0 0  1 0           

Donde la primera columna tiene como elementos: p

l11  a11 ; l 21  a21 ;  l n1  an1  (1)
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Pasos para obtener la matriz L U
Posteriormente se hace el cálculo para el p primer renglón mediante
L11 U12  a 12 L11 U13  a 13 L11 U14  a 14  L11 U1n  a 1n  U1n  a 1n L11
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 U12   U13   U14 

a 12 L11 a 13 L11 a 14 L11Pasos para obtener la matriz L U
Se hace el cálculo para la segunda columna p g mediante
L 21 U12  L 22  a 22 L 31 U12  L 32  a 32 L 41 U12  L 42  a 42  L n1 U12  L n 2  a n 2  L12  a 22  L 21  U 12  L32  a 32  L 31  U 12  L42  a 42  L 41  U 12  Ln 2  a n 2  L n1  U 12

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Pasos para obtener la matriz L U
Posteriormente se hace el cálculo para...