metodo de minimos cuadrados

4to Coloquio del Departamento
de Matem´ticas
a

Álgebra Lineal Numérica, Mínimos Cuadrados y
Optimización
Dr. L. Héctor Juárez
D. Assaely Léon

Comit´ Organizador
e
Dr. Mario Pineda Ruelas
Dr. Julio C´sar Garc´ Corte
e
ıa
Dra. Blanca Rosa P´rez Salvador
e
Mat. Daniel Espinosa
Dr. Constancio Hernández García
Beatriz Arce Vargas (Apoyo log´
ıstico)

Material didáctico delDepartamento de Matemáticas de la Universidad Autonóma
Metropolitana-Iztapalapa con el apoyo del Programa Integral de Fortalecimiento Institucional 3.3 (pifi).

Álgebra Lineal Numérica, Mínimos Cuadrados y Optimización
Dr. L. Héctor Juárez
D. Assaely Léon
Departamento de Matem´ticas, uam-i
a

Universidad Aut´noma Metropolitana
o

Contenido

Prólogo

vii

Capítulo 1. Solución deSistemas de Ecuaciones Lineales
1.1. Eliminación de Gauss
1.2. Factorización LU
1.3. Inestabilidad del método de eliminación de Gauss
1.4. Técnicas de pivoteo
1.5. Método de Factorización de Choleski
1.6. Ejercicios

1
1
6
9
10
16
20

Capítulo 2. Mínimos Cuadrados y Sistemas Lineales
2.1. Ajuste de curvas. Mínimos cuadrados lineales
2.2. Método de ecuaciones normales
2.3.Ortogonalizaci´n de Gram-Schmidt
o
2.4. Proyecciones en Rn
2.5. Método de factorización QR
2.6. Ejercicios

23
23
25
31
34
38
45

Capítulo 3. Optimización Cuadrática y Mínimos Cuadrados
3.1. Funciones cuadráticas
3.2. Métodos iterativos para minimizar funciones cuadráticas
3.3. Mínimos cuadrados y funciones cuadráticas. Problemas en
dimensión infinita
3.4. Ejercicios

49
49
53
5971

Bibliograf´
ıa

75

v

Prólogo

Este documento contiene las notas del curso Algebra Lineal
Numérica, Mínimos Cuadrados y Optimización, que se ofrecerá en
el cuarto Coloquio del Departamento de Matemáticas de la UAM-I. Es
un curso para estudiantes avanzados de licenciatura o del primer año
de posgrado en matemática y áreas afines. El material contiene una
introducción a lostemas mencionados en el título. El objetivo del curso
es presentar estos temas desde un enfoque unificador e integrador de
conocimientos, con el objeto que el estudiante aprecie la interconexión
de diferentes temas de la matemática aplicada. Se hace énfasis en el
análisis y comprensión de los métodos y algoritmos, así como de los
alcances y limitaciones de los mismos. Nuestro propósito es queel
estudiante no solo aprenda a utilizar los métodos, sino que además sea
capaz de elegir la mejor estrategia en la solución de un problema.
El primer capítulo presenta una introducción a la solución de
sistemas de ecuaciones lineales por medio de los métodos directos
básicos, a saber el método de Gauss, el método de factorización LU
y el método de Choleski. El segundo capítulo es unaintroducción al
estudio de los problemas de mínimos cuadrados lineales y su solución
por medio de los algoritmos de ecuaciones normales y la factorización
QR. En este capítulo se establece en forma clara la fuerte relación entre
proyecciones ortogonales, problemas de mínimos cuadrados lineales y
la solución de sistemas de ecuaciones lineales. En el tercer capítulo
se realiza un estudio de laoptimización de funciones cuadráticas por
medio de métodos iterativos y se establece su conexión con el problema
de mínimos cuadrados lineales. Al final, esperamos que el lector tenga
claro que resolver un problema de mínimos cuadrados equivale a
minimizar una función cuadrática y que ambos, a su vez, equivalen a
resolver sistemas de ecuaciones lineales. Además la solución de cada
uno de estostres problemas se puede hacer por medio de métodos
directos, como el método de Choleski o método de factorización QR,
o bien por medio de métodos iterativos como el método de gradiente
conjugado
vii

viii

PRÓLOGO

Este documento concluye con la presentación y solución de dos
problemas que involucran, como parte del problema, la solución de
un problema de mínimos cuadrados en espacios...