Metodo De Punto Fijo

MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Historia

Una máquina puede hacer el trabajo de 100 hombres ordinarios pero ninguna podrá hacer el trabajo de un hombre extraordinario(Elbert Hubbard).
Los profesionales en ingeniería están llamados a ser hombres extraordinarios y por ello deben saber qué es lo que hace la máquina, como solucionan
ecuaciones no lineales y más aún dónde podemos aplicar eseconocimiento.

Intenta solucionar la ecuación x=cos(x), es decir, intenta encontrar un valor de x que satisfaga la
igualdad. Cómo podemos estimar la solución de dicha ecuación?

Si no conocemos la solución exacta, cómo podemos medir la confiabilidad de una aproximación
Probablemente, el primer método iterativo apareció en una carta de Gauss a un estudiante. Proponía resolver un sistema 4 por 4 deecuaciones mediante la repetición de la solución del componente donde el residuo era mayor.
La teoría de métodos estacionarios se estableció sólidamente con el trabajo de D.M. Young, que empezó en la década de 1950. El método del gradiente conjugado se inventó en esa misma década, con desarrollos independientes de Cornelius Lanczos, Magnus Hestenes y Eduard Stiefel, pero su naturaleza y aplicación semalentendieron en esa época. Sólo en la década de 1970 se puso de manifiesto que estos métodos funcionan muy bien para resolver ecuaciones de derivadas parciales, especialmente del tipo elíptico.
Teoría básica

El Método de Punto fijo se utiliza para solucionar ecuaciones de la forma
x=g (x) .
Se llama punto fijo a todos los valores a para los cuales . a=g( a) .
Por ejemplo, laparábola del dibujo posee dos puntos fijos.

Estrategia iterativa para determinar un punto fijo.

Partir de un punto x0 que en principio supondremos es
próximo a la solución(una especie de adivinanza). Iteramos
usando la ecuación xi+1=g ( xi) a la solución?

Bajo esta idea

x1=g ( x0)
x2=g ( x1)
x3=g ( x2)
x4=g ( x3)
….
Xk+1=g ( x k )
…..

Y cómo no podemos quedarnos repitiendo elproceso infinitas veces viene la necesidad de decidir cuándo parar.

Estrategias de parada:

Optimista: Cuándo el x no cambie. O cuándo el error esté por debajo de cierta cantidad.

Pesimista: Cuándo no se observa convergencia, (los errores crecen ...) o cuándo simplemente no se puede seguir iterando porque la función g no esta definida para xi.

Ejemplo: Para solucionar x=cos ( x)partiendo de x0=0.5 los resultados serían:

i Xi error de aprox
0 0.5
1 0,8775 43,03%
2 0,6390 37,33%
3 0,8026 20,39%
4 0,6947 15,53%
5 0,7681 9,56%
6 0,7191 6,82%
7 0,7524 4,41%
8 0,7300 3,05%
9 0,7451 2,02%
10 0,7350 1,38%
110,7418 0,92%
12 0,7372 0,62%
... ...
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Un punto fijo de una función g dada, es un número p para el que g(p)=p. En esta sección vamos a considerar por una parte, el problema de la existencia y unicidad de puntos fijos y la forma de aproximarlos y por otra, la relación entre los problemas de punto fijo y el problema de aproximar raíces, ya que, aunquelos problemas que nos planteamos en esta unidad son los de encontrar raíces, cierta selecciones de puntos fijos permiten obtener técnicas muy eficaces de cálculo de raíces.

Ejemplos:

 
1) La función g(x)=x3 tiene tres puntos fijos en el intervalo [-2,2].
 
 

Figura 5. g(x)=x3 tiene tres punto fijos
 

 

2) La función g(x)=(1+sen x)1/2  tiene un único punto fijo en el intervalo[0,2].
 

Figura 6.  La función g  tiene un único punto fijo.
 
El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia y unicidad de un punto fijo.
 
Teorema 2: Si se cumple que entonces g tiene un punto fijo en [a,b].Supóngase, además, que g'(x) existe en (a,b) y que existe una constante positiva k<1, tal que,Entonces el punto fijo en [a,b] es único |
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