Metodo Maricial de Rigidez 01

ANALISIS DE ARMADURAS
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Fundamentos del Método de Rigidez
Matríz de Rigidez Local
Matrices de Transformación de Desplazamiento y Fuerza
Matríz de Rigidez Global
Aplicación del Método de Rigidez al Análisis de
Armaduras.
Armaduras con Soportes Inclinados, Esfuerzos de
Origen Térmico y Errores de Fabricación
Análisis de Armaduras Espaciales

1

Armaduras BiDimensionales

2

Fundamentos del Método de Rigidez
y
x
4
3

2

(x2, y2)

1

1
2

3

(x3, y3)

1
(x1, y1)

• Identificación de Nudos y Miembros

3

6
5

2

8
4

7
(x4, y4)

• Coordenadas Localess y Globales

• Grados de Libertad
• Grados de Libertad Conocidos D3, D4, D5, D6, D7 y D8
• Grados de Libertad Desconocidos D1 y D2

3

Matríz de RigidezLocal
x´
y´

q´j

j

q´i

q 'i =

i

q' j = −

x´
y´
d´ i

=1

AE/L

x di i
d´

AE/L
d´ j =

y´

AE/L

AE
AE
d 'i −
d'j
L
L

1

AE/L

AE
AE
d 'i +
d'j
L
L

q 'i  AE  1 − 1  d 'i 
q '  =
− 1 1  d ' 
L 
  j
 j
[q´] = [k´][d´] ----------(1)

x´
x dj j
d´

AE  1 − 1
[k ' ] =
L − 1 1 



4

Matrices deTransformación de Desplazamiento y de Fuerza

y

x´

y´

θy

m

θx

j

(xj,yj)
x

i

(xi,yi)
λ x = cosθ x =
λ y = cosθ y =

x j − xi
L
y j − yi
L

=
=

x j − xi
( x j − xi ) 2 + ( y j − yi ) 2
y j − yi
( x j − xi ) 2 + ( y j − yi ) 2

5

• Matrices de Trasnsformación de Desplazamiento
y
djy

x´
d´j

y´
j

m

diy
i

d´i

i

Local

θy m
θx

jdjx
x

dix

Global

λx

λy

d 'i = d ix cos θ x + d iy cos θ y
d ' j = d jx cos θ x + d jy cos θ y

 d 'i   λ x
d '  =  0
 j 

λy

0

0

λx

[d´] = [T][d]

 d ix 
0   d iy 


 d 
λ y  jx


d jy 

----------(2)

λ x
[T ] = 
0

λy

0

0

λx

0 
λy 


6

• Matrices de Transformación de Fuerza
qjy

y
qiyθy

m

θx

i

qix

j

y

qjx

θy

qiy = q 'i cos θ y
q jx = q ' j cos θ x
q jy = q ' j cos θ y

j

θx
q´i

x

i

Local

λx
λy

m

x

Global
qix = q 'i cos θ x

x´
q´j

y´

 q ix   λ x
q  
 iy  =  λ y
 q jx   0

 
 q jy   0

 

0 
0   q 'i 

λ x  q' j 
 

λy 


[q] = [T]T[q´]

donde

λ x
λy
T
[T ] = 
0

0


0 
0 

λx 

λy 


----------(3)

7

Matríz de Rigidez Glogal
----------(3)

[q] = [T]T[q´]

Sustituyendo ( [q´] = [k´][d´] + [q´F] ) en la Ec. 3, obtenemos
[ q ] = [ T ]T ([k´][d´] + [q´F] ) = [ T ]T [ k´ ][T][d] + [ T ]T [q´F] = [k][d] + [qF]
[ k ] = [ T ]T[ k´ ][T]

[k]

[qF] = [ T ]T [q´F]

[ k] =

λx
λy
0
0

0
0

λxλy

1

-1

λx

λy

0

0

-1

AE
L

1

0

0

λx

λy

U

V

U

V

λxλx

λxλy

−λxλx

−λxλy

AE V λyλx
L U −λ λ
x x

λyλy

−λyλx

−λyλy

−λxλy

λxλx

λxλy

V −λyλx

−λyλy

λyλx

λyλy

U
[k] =

8

Aplicación del Método de Rigidez para el Análisis de Cerchas
Ecuación de Equilibrio:
[Qa] = [K][D] + [QF]
Particionando:
Cargas deNudo
Qk

=

Qu

Desplazamientos Desconocidos

K11

K12

Du

K21

K22

Dk

+

QFk
QFu

Condición de Frontera

Reacción

[Qk] = [K11][Du] + [K12][Dk] + [QF]
[Du] = [Ku]

-1

(([Qk] - [QF]) -

[K12][Dk])

9

Fuerzas de Miembro

x´
q´j

y´
y

θy

m

j

θx
q´i

x

i

q 'i  AE  1 − 1  d 'i   q ' F i 
q '  =
− 1 1  d '  +  F
L 
  j  q ' j 
 j
λ x
0


q 'i  AE  1 − 1 λ x
q '  =
− 1 1   0
L 
 
 j

λy

0

0

λx

λy

0

0

λx

 d ix 
0   d iy 


 d 
λ y  jx


d jy 


 Dix 
0   Diy   q 'F i 
 
 D  +  F 
λ y  jx q' j 
 
 D jy 

10

q 'i  AE  λ x
q '  =

L  − λx
 j

λy
− λy

− λx

λx...