Metodos estocasticos

Apunte de procesos estoc´sticos a
Margarita Manterola 6 de junio de 2005
Resumen Este apunte pretende ser un resumen de lo dado en clase (tanto pr´ctica como a te´rica) en la materia Procesos Estoc´sticos (66.15) de la Facultad de Ingenier´ de o a ıa la UBA. Falta: histograma, montecarlo, cambio de variable.

1.
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

Repaso de matrices
Matriz diagonalizableMatriz inversible Matriz adjunta Matriz sim´trica e Matriz herm´ ıtica Matriz unitaria Matriz definida positiva

2.
2.1.

Repaso de probabilidad y estad´ ıstica
Definiciones B´sicas a

Llamamos se˜ al (o variable) aleatoria a una funci´n que puede tomar valores n o aleatorios a lo largo del tiempo. Puede ser continua o discreta. La funci´n de distribuci´n de probabilidad FX (x) es laprobabilidad de que la o o se˜al aleatoria X sea menor que un determinado valor x. n FX (x) = P (x ≤ X) (1)

Mientras que la funci´n de densidad de probabilidad fX (x) est´ definida como: o a dFX (x) (2) dx Para la funci´n de distribuci´n de probabilidad no importa si la variable es continua o o o discreta, pero la funci´n de densidad se define unicamente para variables continuas. o ´ fX (x) = 12.1.1.

Ejemplos

Por ejemplo, una se˜al aleatoria binaria, que solamente puede tomar valores −V y V , n tendr´ una funci´n de probabilidad escalonada: 0 hasta −V , P0 hasta V y 1 de ah´ en a o ı adelante. Mientras que su funci´n de densidad de probabilidad estar´ constitu´ por dos imo a ıda pulsos, ubicados en −V y V , y de peso P0 y P1 (siendo P1 = 1 − P0 .

2.2.

Momentos
∞

El valormedio (o media) de una variable aleatoria est´ definido como: a E(X) =
−∞

xfX (x)dx

(3)

Y en general para cualquier funci´n, se puede decir que: o
∞

E [g(x)] =
−∞

g(x)fX (x)

(4)

Adem´s, se define el momento de orden p: a mP = E xP =
∞ −∞

xP fX (x)

(5)

De manera que m0 = 1, m1 = E(X) = mX y m2 = E(X 2 ). Por otro lado, se define el momento centrado µP : µP = E (x −E(X))P =
∞ −∞

(x − mX )P fX (x)

(6)

2 De manera que µ0 = 1, µ1 = 0 y µ2 = σX (varianza de X). 2 Propiedad: E(X 2 ) = m2 + σX . X Donde se puede equiparar la ecuaci´n a los circuitos el´ctricos y considerar E(x2 ) como o e 2 la potencia total, m2 como la potencia de corriente continua y σX como la potencia de X corriente alterna. Demostraci´n: o 2 σX = E (X − mX )2

(7) (8) (9) (10) (11)(12)

= E X 2 − 2XmX + m2 X = E X 2 − E [2XmX ] + E m2 X = E X 2 − E [2X] mX + m2 X = E X 2 − 2mX mX + m2 X
2 σX = E X 2 − m2 X

2

3.

Vectores aleatorios

Puede ser necesario trabajar con varias se˜ales aleatorias a la vez, lo que constituye n un vector aleatorio. Por ejemplo, si se toman pares de valores de posici´n y velocidad o de un m´vil, o la altura y el peso de una persona, loque constituir´ las variables x y y. o ıa Tambi´n se puede tener un vector X de n componentes: X = [X1 , X2 , . . . Xn ]. e

3.1.

Funciones de distribuci´n y densidad de probabilidad o

En una distribuci´n de dos variables, se puede tener una funci´n de probabilidad o o conjunta: FXY (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) (13) Se trata de la probabilidad de que tanto X como Y sean menores a los valores xe y (es decir la intersecci´n de las probabilidades). o De la misma manera para un vector de n variables: FX (x) = P (X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xn ≤ xn ) En ambos casos, la funci´n de distribuci´n de probabilidad es una funci´n de o o o La funci´n de densidad de probabilidades conjunta: o fXY (x, y) = ∂ 2 FXY (x, y) ∂x∂y (15)
N

(14) en .

Propiedad: X e Y son variables aleatoriasindependientes si y s´lo si fXY (x, y) = o fX (x)fY (y) y P (A, B) = P (A)P (B). Adem´s, con X e Y independientes, si se tiene la funci´n Z = X + Y , la funci´n de a o o densidad de probabilidad ser´: a
∞

fZ (z) = fX (z) ∗ fY (z) = 3.1.1. Probabilidad condicional

−∞

fY (u)fx (z − u)du

(16)

En los vectores aleatorios, cuando dos variables no son independientes entre s´ se ı, puede obtener...