Metodos le lagrnage (ejercicios)


























UNIDAD I:
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE





Profesor:
Pedro Colina





Maracaibo, 2.008

METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE

Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función generalsometida o sujeta a alguna condición o restricción de la forma .

El método establece una ecuación en función de las condiciones o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve una ecuación vectorial de la forma:
, para cuando hay una sola condición a cumplir y para cualquier n variables.

Para cuando la función debe cumplir dos restricciones se tiene: , las restriccionesson: . Entonces la ecuación queda:
, para cuando hay dos condiciones a cumplir.

Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte de ese sistema a resolver.

Cuando se tiene una función de tres variables restringida por , el procedimiento general se puede establecer así:
Identificar la función de donde sedesea hallar el valor máximo o mínimo, esta se llama función a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos.
Identificar la o las restricciones a cumplir por la función.
Hallar el gradiente de la función:
Hallar el gradiente de la restricción:
Formar la ecuación vectorial:
Formar el sistema de ecuaciones que incluya las condiciones las condiciones.
Determinar todos los valores x,y, z y λ que satisfagan y .
Evaluar todos los puntos del resultado anterior en la función . El mayor de los valores será el valor máximo de la función y el más pequeño es el valor mínimo de la función.


EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE

Ejemplo 1:
¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4?

Solución:
Represente un rectángulo con lados xe y, base y altura respectivamente.


La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.
Área de un rectángulo: A = x.y
Condición a cumplir: :
De una manera más fácil:

Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.



Así las ecuaciones de Lagrange son:

…. (1)
….. (2)…(3)

Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,
…. (4)
….. (5)

Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
Al simplificar queda:
; Queda:
Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3).
Si y = x



Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores nonegativos, así que se tiene un único punto que es para x=, la altura y también vale.
Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A=*=8


Ejemplo 2:
¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función , sobre el círculo ?

Solución:
Se pide calcular los valores extremos de la función sujeta a la restricciónCalculamos los gradientes:



Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:

……ec nº 1
……ec nº 2
……ec nº3

Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:




y , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones.

Si x=0 en la ec nº4 se obtiene:

Luego si , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3,

Como consecuencia, tal veztiene valores extremos en los puntos:
(0,1)
(0,-1)
(1,0)
(-1,0)

Al evaluar a en esos cuatro puntos se encuentra que:


Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0).

Ejemplo 3:

Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de...