metodos numericos2

• RAíCES MÚ LTI PLES
• Una raiz múltiple corresponde a un punto donde una función
es tangencia1
• al eje x. Por ejemplo, dos raíces repetidas resultan de:
• f(x) = (x - 3)(x - l)(x - 1)
• f(x) = x3- 5x2 + 7x - 3
• o, multiplicando términos,
• La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x anula dos
términos
• de la ecuación (5.8). Gráficamente, esto significa que la curva
toca

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tangencialmente al eje x en la raíz doble. Véase la figura 5.10~en x = 1.
Nótese que la función toca al eje pero no lo cruza enla raíz.
Una raiz triple corresponde al caso en que un valor de x se anula en
tres términos de la ecuación, como en:
f(x) = (x - 3)(x - l)(x - l)(x - 1)
o, multiplicando,
)(X) = x4 - 6x3 + 1 2 ~-' 10 +~ 3
Nótese que el esquema gráfico (Fig. 5.10bJ indica otra vez que la función
es tangencia1 al eje en la raíz pero que en este caso sí cruza el eje. En
general, la multiplicidad impar de raícescruza el eje, mientras que la multiplicidad
par no lo cruza. Por ejemplo, la raíz cuádruple en la figura 5.10~
no cruza el eje.
Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultadeas los métodos numéricosexpuestos en la parte 11:
l. El hecho de que la función no cambia de signo en una raíz de multiplicidad
par impide el uso de los métodos confiables que usan intervalos,
discutidos en el capítulo 4. Deesta manera, de los métodos
incluidos en este texto, los abiertos tienen la limitación de que pueden
divergir.
2. Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no sólo f(x)
se aproxima a cero.Estos problemas afectan a los métodos de NewtonRaphson y al de la secante, los que contienen derivadas (o aproximaciones
a ella) en el denominador de sus respectivas fórmulas. Esto provocaría
unadivisión entre cero cuando la solución se acerque a la raíz.
Una forma simple de evitar estos problemas, que se ha demostrado
teóricamente (Ralston y Rabinowitz, 1978), se basa en el hecho de que...