microeconomia nicholson cap2

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Capítulo 2
LAS MATEMÁTICAS DE LA OPTIMIZACIÓN
Muchos modelos económicos parten del supuesto que un agente quiere determinar el valor óptimo de una
función. En el caso de los consumidores, esa función mide la utilidad que éstos obtienen de sus compras y,
en el de las empresas, mide las ganancias de éstas. Sin embargo, en amboscasos, las cuestiones matemáticas
formales de la solución son muy similares. En este capítulo se analizarán las matemáticas que son comunes
a todo este tipo de problemas. Para aquellos que estén familiarizados con el cálculo multivariable, este capítulo servirá de repaso. Para aquellos que sólo estén familiarizados con algunos conceptos del cálculo básico,
este capítulo les proporcionará lasbases necesarias para comenzar a analizar el cálculo aplicado a la construcción de modelos microeconómicos. En general, el capítulo pretende ofrecer una referencia que puede
resultar muy útil a medida que se presenten estos conceptos matemáticos a lo largo del libro.

Maximización de una función con una variable
Vamos a comenzar con un ejemplo sencillo. Supóngase que el administrador de unaempresa
quiere maximizar1 las ganancias que obtendrá de la venta de un bien determinado. Supóngase
también que las ganancias ( ) que obtenga dependerán exclusivamente de la cantidad (q) que
venda de ese bien. Matemáticamente,
o = f(q).

(2.1)

La figura 2.1 muestra una posible relación entre y q. Es evidente que, para obtener la ganancia
máxima, el administrador debe producir q*, con lo cualobtendrá * ganancias. Si se tuviera una
gráfica como la de la figura 2.1, pensaríamos que es posible resolver este problema con sólo utilizar una regla para medir.
Sin embargo, supóngase que (como, de hecho, sería más probable) el administrador no tiene
una descripción tan precisa del mercado. Por tanto, intentará variar q para ver dónde puede obtener la ganancia máxima. Por ejemplo, si se partede la ganancia q1, las ganancias de las
ventas serían 1. A continuación, el administrador probaría la producción q2, y vería que las ganancias han aumentado a 2. La noción que dicta el sentido común, que indica que las ganancias han aumentado debido al incremento de q quedaría expresada de manera formal como
o 2 - o1
Do
>0 o
> 0,
q 2 - q1
Dq

(2.2)

donde se utiliza el símbolo paraindicar “la variación de” o q. Siempre que / q sea positivo, las ganancias irán en aumento y el administrador seguirá incrementando la produción. Sin
1En este capítulo, por lo general, estudiaremos problemas de maximización. Para estudiar problemas de minimización tendríamos que
adoptar un enfoque prácticamente igual, toda vez que la maximización de f (x) es equivalente a la minimización de – f (x).CHAPTER2_CUARTAS.qxd

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Capítulo 2 Las matemáticas de la optimización

FIGURA 2.1

Relación hipotética entre la cantidad producida y las ganancias

Si un administrador quiere alcanzar el nivel de producción que maximiza las ganancias, tendría que producir, q*. Nótese
que en q*, d /dq = 0.

␲
␲*
␲2

␲ ϭ f (q)

␲3
␲1

q1

q2

q*

q3Cantidad

embargo, en el caso de incrementos de la producción que se ubiquen a la derecha de q*, / q
será negativo, y el administrador sabrá que estaría cometiendo un error si sigue expandiendo q.

Derivadas
Usted sabe que el límite de / q para variaciones muy pequeñas de q se llama derivada de la
función, = f (q), y se escribe como d /dq o df/dq o f (q). Más formalmente, la derivada deuna función = f (q) en el punto q1 se define como

d o df
f (q 1 + h ) - f (q 1 )
=
= lím
.
hã0
dq
dq
h

(2.3)

Observe que el valor de este cociente depende claramente del punto q1 que se elija.

Valor de la derivada en un punto
Aquí, es preciso mencionar una convención sobre notaciones: a veces es pertinente mostrar de
manera explícita el punto en el cual se calculará el valor...